teorema di Poincare' (era: Quell'unico stato ordinato)

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/10

rufo rufo wrote:

> Ciao, mi sembra che la tesi del teorema sia un po troppo ottimistica.
> Infatti, se non ricordo male, la tesi non �:
>


 Ciao, allora, due cose:

 1) hai ragione, cosi' come ho enunciato il teorema, almeno quando
 il gruppo and un parametro che descrive l'evoluzione sulla varieta'
 e' di classe C^1 (es. sistemi hamiltoniani), i moti risolvono
 equazioni differenziali del prim'ordine ed il teorema di unicita'
 porterebbe subito alla periodicita' per quasi ogni condizione iniziale
 che e' palesemente falsa. [Se il gruppo e' discreto non ci sarebbe
 questo problema, ma in ogni caso l'enunciato che ho dato e' scorretto.]

 2) L'enunciato debole del teorema puo' enunciarsi cosi' nel modo
 piu' genereale (mi riferisco ai sistemi hamiltoniani autonomi ma
 il tutto vale anche per un gruppo di trasformazioni ad un parametro
 (anche discreto) che conservano la misura di uno spazio misurabile
 [diciamo con una misura di Borel] sul quale agiscono.

 "Sia dato un sistema hamiltoniano autonomo con evolutore
 (flusso dinamico) t |-> f(t, ), t appartenente a R
 per il quale sia accessibile una regione (o sottovarieta')
 dello spazio delle fasi con misura finita.
 Per ogni punto p in tale regione e per ogni insieme misurabile E
 con misura non nulla contenuto in un arbitrariamente fissato intorno
 di p piccolo a piacere, e per ogni tempo T>0 esiste un tempo T'>T
 tale che f(t,E) ha intersezione non vuota con E."

 Ecco questa e' la versione "debole", piu' o meno quella che trovi
 sull' Arnold. La versione piu' forte e' invece

  "Sia dato un sistema hamiltoniano autonomo con evolutore (flusso
 dinamico) t |-> f(t, ), t appartenente a R per il quale sia
 accessibile una regione (o sottovarieta')
 dello spazio delle fasi con misura finita.
 Per ogni punto p in tale regione e per ogni insieme misurabile E
 con misura non nulla contenuto in un arbitrariamente fissato
 intorno di p piccolo a piacere, quasi tutti i punti di E tornano in E,
 (ovvero per quasi ogni q in E esiste un tempo t_q tale che f(t_q,q) e'
  in E)."
 
 Le dimostrazioni (ma la seconda e' sbagliata o incompleta) le puoi
 trovare sul Fasano-Marmi di Meccanica Analitica Boringhieri.
 (Se proprio non la trovi, per il secondo posso darti la dimostrazione
 che mi sono fatto io.)

 Ciao, Valter Moretti
Received on Fri Sep 10 1999 - 00:00:00 CEST