Re: Quell'unico stato ordinato...

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1999/09/09

rufo rufo wrote:

> Ciao, mi sembra che la tesi del teorema sia un po troppo ottimistica.
> Infatti, se non ricordo male, la tesi non �:
>
> "a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
> tutti gli stati del sistema tornano ESATTAMENTE dopo un certo tempo
> alla condizione iniziale (questo implicherebbe che tutti i sistemi che
> obbediscono alle ipotesi del teorema sono periodici)"
>
> ma la seguente (potrei sbagliare, of course)
>
> "a parte un insieme a misura nulla di condizioni iniziali possibili,
> per ogni intorno arbitrariamente piccolo della condizione iniziale,
> esiste un tempo t tale che il sistema sar� all'interno di tale intorno
> della condizione iniziale (ovviamente si intende un intorno nello
> spazio delle fasi").
>
> Se il teorema fosse come dici tu, vorrebbe dire che tutti i sistemi che
> soddisfano il terorema di Poincar� per quasi tutte le condizioni
> iniziali sarebbero periodici in virt� del teorema di esistenza ed
> unicit� della soluzione del problema di cauchy che definisce il moto
> del sistema, cosa che non � vera.
> I sistemi periodici sono casi molto paricolari di questo teorema.
>

Ciao, non ho detto che il ritorno e' periodico,
ho detto che "quasi ogni stato ritorna infinite volte"
senza precisare il tempo che intercorre tra un ritorno e l'altro
(perche' il teorema non lo permette).
La tesi che hai scritto tu e' anche vera, e' la versione in un certo
senso piu' debole del teorema da cui segue l'altra usando la completezza
della misura di Lebesgue (non e' proprio banale). Purtroppo ora non ho
sotto mano la dimostrazione. Potrebbe darsi, dato che ho citato a
memeoria, che la tesi "forte" sia piu' semplicemente "Fissato un T
arbitrario, per T>0 quasi ogni stato ritorna" che e' un po' piu'
debole.
La versione che fornisci tu e' quella piu' elementare che trovi
sull'Arnold. Se ti interessa posso controllare l'enuciato forte
e postare la dim. Fammi sapere.

Ciao, Valter
Received on Thu Sep 09 1999 - 00:00:00 CEST