R: R: R: R: Chiarimenti sugli spazi multidimensionali...

From: Fabio Ceccarelli <fabio1_at_linet.it>
Date: 1999/08/20

> >> simmetrica x*y=y*x per ogni x,y
> >> bilineare (ax+by)*z=ax*z+by*z e lo stesso nel secondo argomento
> >> strettamente positiva x*x>0 x*x=0 sse x=0

> >Perfetto! Allora eccoti un problema...
> >Hai due vettori nel piano. A prima vista si direbbero ortogonali, ma
> >potrebbero non esserlo. Se ci� che hai detto ha un senso anche pratico,
deve
> >essere possibile applicarlo! Allora visto che non hai definito il coseno
(e
> >le funzioni trigonometriche, e gli angoli), applica ci� che hai detto
alla
> >situazione reale. Sei in grado (usando soltanto quella definizione) di
dire
> >se i due vettori sono ortogonali?

> dammi questi due vettori e ti diro` se sono ortogonali o meno.

No... non ci siamo capiti. Io ti d� due vettori... ma non ti la
rappresentazione rispetto ad una base vettoriale di riferimento! Senza una
base vettoriale di rifermento non puoi proprio scrivere quei vettori... Come
fai in questo caso ad applicare la definizione?
Hai soltanto un disegno approssimativo su di un foglio di quelli che possono
essere due vettori, ma non hai la loro rappresentazione matematica, questo
perch� non stiamo svolgendo un esercizio di analisi matematica... stiamo
cercando di capire la realt�. Nella pratica tu non hai le componenti del
"vettore" spazio e del "vettore" tempo, per cui non puoi assolutamente
applicare quella definizione a questo sistema. Nel caso in esame puoi
supporre che spazio e tempo siano ortogonali... ma non ne hai la certezza.
E' necessario risolvere l'enigma: spazio e tempo sono ortogonali?
Con la definizione di prodotto scalare (in questo caso) non vai proprio da
nessuna parte. Invece con la definizione: due o pi� vettori si dicono
ortogonali quando suddividono lo spazio in 2^n parti uguali, qualcosa puoi
dire.
Quest'altra definizione (che se vuoi puoi pensare discendere dal prodotto
scalare), ti permette di risolvere l'enigma. Infatti ora non ti interessa
sapere n� gli angoli ne le componenti dei vettori. Basta verificare se lo
spazio quadrimensionale � suddiviso in 16 parti uguali. Questo significa che
(se lo spazio-tempo fosse piatto) ci dovrebbe essere essere una perfetta
simmetria tra passato e futuro, cio� ci si potrebbe muovere sia nel passato
che nel futuro. Siccome le cose non stanno cos�, allora � evidente che: o lo
spazio-tempo non � piatto, oppure lo spazio e il tempo non sono ortogonali.
Con alcuni ragionamenti si pu� escludere che lo spazio e il tempo non siano
ortogonali... per cui si deduce che lo spazio-tempo non � piatto.

Tutti gli altri discorsi che stiamo facendo sono soltanto una perdita di
tempo (scusa il gioco di parole). Il nocciolo del discorso che avevo
proposto era appunto questo... poi tu sei intervenuto quando la discussione
era gi� in atto e magari hai capito che la questione centrale era il
prodotto scalare.

> come faccio a dirtelo? semplicemente adottando la definizione dei prodotto
> scalare nel piano, che e` stata data in un latro post dello stesso thread.
> pensa che sono anche in grado di dirti se due funzioni sono ortogonali, se
> mi dai un prodotto scalare tra funzioni. e il coseno qui non compare
> neanche volendo.

Si lo s�... Il prodotto scalare tra funzioni � definito come l'integrale del
prodotto tra la prima funzione e la coniugata complessa della seconda
funzione...

> questa dscussione sta diventando un discorso tipo "e` nato prima l'uovo o
la
> gallina".

Sono daccordo... stiamo discutendo per delle sottigliezze inutili ;-)

> dammi le componenti (mi sento geeg :-)) e ti dico se i due vettori
> soo ortogonali o meno. non sei obbligato a darmeli in una base
> ortonormale, ce la faccio lo stesso.

Non ti d� i vettori, perch� come avrai capito il mio obiettivo era un'altro.

> e` ovvio che l'uso del coseno e` utile in determinate situazioni e magari
il
> prodotto scalare sul piano e` nato proprio con il coseno, ma poi
l'astrazione
> matematica (gran bella cosa)

... mica tanto! La matematica si st� astrendo cos� tanto che alla fine
diventa fine a s� stessa... a cosa serve? Per esercizio mentale?
Poi, tu continui dicendo:

> ha detto che del coseno possiamo fregarcene e
> fare molto di piu`.
> facciamo cosi`: eccoti due vettori a caso complessi
> (1+i4,i) (3-i,6)
> dimmi se sono ortogonali o meno usando il coseno. misurami l'angolo che
c'e`
> tra i due.

Bene, sommo alle componenti del primo vettore il numero complesso -1-4i... e
sommo alle componenti del secondo vettore il numero complesso -3+i. Ottengo
in questo modo una semplice traslazione dei vettori nell'origine degli assi.
Il primo vettore � diventato:
(0, -1-3i); il secondo � diventato: (0, 3+i). Ora faccio delle
considerazioni sull'estremo libero. Se un vettore centrato nell'origine
degli assi � del tipo: a+bi, allora tale estremo cade nel primo quadrante;
se � del tipo: -a+ib, allora cade nel secondo quadrante; se � del
tipo: -a-ib, allora cade nel terzo quadrante; se � del tipo: a-ib, cade nel
quarto quadrante. Affinch� i vettori siano ortogonali, � necessario che i
due vettori appartengano a due quadranti adiacenti. Nel caso in esame, i
vettori appartengono al primo e al terzo quadrante... pertanto non sono
ortogonali.
Come vedi non ho usato il prodotto scalare e ne tantomeno il coseno... ho
usato il ragionamento che spesso � migliore di qualsiasi definizione
preconfezionata.

> se solo provi a dirmi che l'angolo e` il rapporto tra il loro
> prodotto scalare e il prodotto dei moduli ti metto nel
> killfile :-)

Mi sono salvato dal "killfile"?



Ciao, e grazie di nuovo per aver risposto ;-)

Fabio Ceccarelli
Received on Fri Aug 20 1999 - 00:00:00 CEST