stecrimi_at_tin.it (Stefano Crim�) wrote:
>
>On 13 Jul 1999 18:55:39 +0200, marco.coletti_at_ZZZeurofin.it (Marco
>Coletti) wrote:
>
>>E invece il semplice modello probabilistico delle estrazioni del lotto dice che
>>un numero esce, prima o poi, con probabilita' 1.
>
>Quando l'avrebbe detto? Se davvero un modello dice questo, allora il
>modello e' sbagliato.
Semplice. Il modello (parziale) e' quello che segue.
Considero una sola ruota per semplicita'.
Abbiamo delle prove indipendenti (le "estrazioni" del lotto), in ciascuna delle
quali si verificano cinque eventi elementari (l'estrazione di cinque palline in
successione dalla stessa urna contenente 90 diverse palline) che possiamo
rappresentare con le variabili aleatorie x_1, x_2, x_3, x_4, x_5.
La variabile x_1 assume valori discreti nell'insieme S_1={1, 2, 3, ... 90} con
distribuzione uniforme, cioe' P[x_1 appartiene a S_1] = 1, mentre per ogni k
tra 1 e 90 e' P[x_1 = k] = 1/90.
Le variabili x_1,...x_5 sono dipendenti, in quanto le distribuzioni di
probabilita' (condizionata) di ciascuna dipendono dal valore assunto dalle
precedenti (la x_2 ha 1/89 di probabilita' su tutti gli 89 numeri diversi da
x_1, la x_2 ha 1/88 di P su tutti gli 88 numeri diversi da x_1 e da x_2, etc.),
ma per il mio scopo posso tralasciare questa descrizione.
La probabilita' che un numero fissato n (da 1 a 90) si manifesti alla prima
estrazione di una prova e':
P[x_1=n] = 1/90
Ora supponiamo di eseguire M prove (indipendenti per ipotesi) e cerchiamo di
calcolare la P dell'evento A, dove A e' {il numero prefissato n si manifesta
alla prima estrazione in almeno una prova}; il calcolo viene molto semplificato
considerando la P dell'evento complementare C e sottraendola a 1.
L'evento C e' {il numero n non si manifesta alla prima estrazione in alcuna
delle prove}. Possiamo vedere l'evento C come intersezione di M eventi
indipendenti: C = {il numero n non si manifesta alla prima prova} and {il
numero n non si manifesta alla seconda prova} and {il numero n non si manifesta
alla terza prova}... and {il numero n non si manifesta alla M-esima prova}, per
cui la P si computa come prodotto delle P degli eventi concomitanti:
P[C] = 89/90 * 89/90 * 89/90... * 89/90 = (89/90)^M
Di conseguenza:
P[A] = 1-P[C] = 1-(89/90)^M
Ora, facendo tendere M ad infinito, e' facile vedere che la P che il numero
prefissato n si manifesti "prima o poi" (cioe' in almeno una prova delle
infinite prove) alla prima estrazione e' 1, in quanto (89/90)^M tende a zero.
A maggior ragione e' 1 la P che il numero prefissato n si manifesti "prima o
poi" in una delle cinque estrazioni.
>Facciamo un esempio: giochiamo a testa o croce; lancio la moneta per
>1000 volte. Esce tutte le volte testa. Quale e' la probabilita' che al
>lancio successivo esca croce?
Dipende dal modello che uso.
Se uso il modello standard (2 eventi elementari equiprobabili, prove
indipendenti) la risposta e' chiaramente P[croce] = 1/2.
Se invece mi faccio furbo, osservo che il fatto che sia uscito 1000 volte testa
su 1000 prove mi autorizza a *sospettare* che il modello standard non sia
corretto; forse usi una moneta truccata o forse chissa' cosa, ma evidentemente
c'e' (con ottima probabilita') un qualche meccanismo fisico che consiglierebbe
di adottare un altro modello.
Questo pero' ha senso solo se ho motivo di sospettare, cioe' se non sono stato
in grado di esaminare per bene le condizioni dell'esperimento e quindi sto solo
*presumendo* che esso avvenga come immagino e cioe' con moneta simmetrica e
tutto quanto si da' normalmente per scontato.
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Marco Coletti
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Received on Tue Jul 20 1999 - 00:00:00 CEST