Mauro D'Uffizi ha scritto nel messaggio <7i7aoc$846$1_at_nslave1.tin.it>...
>
>Bruno Cocciaro ha scritto nel messaggio <37409937_at_news.uk.ibm.net>...
>
>>Io, nel mio piccolo, avevo fatto un lavoro incommensurabilmente minore
>>rispetto a quello di Hafele e Keating, che era, per l' appunto, tentare di
>>dare una dimostrazione del paradosso dei gemelli che fosse il piu'
>>possibile (secondo me) accessibile a chi conosce il meno possibile
>>(secondo me) di relativita'. Non ricevere alcuna risposta (o quasi) nel
>>merito
>>di quanto da me affermato e poi sentirmi accomunare a coloro i quali sono
>>>accecati dai loro stessi preconcetti
>>mi sembra una mancanza di rispetto verso di me e verso quanti, come me
>>decidono di dedicare del tempo a questo newsgroup.
>>Ad ogni modo non me la prendo.
>
>
>Se in questo passaggio fai riferimento al tuo scambio di post con me, dir�
>che ti ho gi� risposto in due modi, di cui il primo poteva essere affetto
da
>divagazione filosofica, ma non mi pare, mentre il secondo entrava
>esattamente nel merito.
Concordo. Infatti avevo introdotto un "(o quasi)" proprio perche' l'unico
eri stato tu ad entrare nel merito, anche se, a mio modo di vedere, in
maniera poco chiara e, sempre secondo me, scorretta.
>Se mai tu nel rispondermi dicevi di esserti perso, quando avevo introdotto
>il secondo osservatore, bada bene in moto rettilineo uniforme (non
>accelerato) , e poi, come hai ribadito in questo post, ti sei ribellato a
>questa introduzione ritenendola immotivata, e hai cambiato tesi parlando
del
>fatto che il rallentamento del tempo sarebbe dimostrato dall'esperimento
con
>gli orologi sugli aeroplani.
Non ritenevo "immotivata" la tua maniera di porre la questione;
semplicemente non capivo. Mi ricordo che ti dicevo qualcosa del genere
"io gia' da qui non capisco, perche' tu dici che ....".
Inoltre non capivo se tu concordavi con me nel dire che il problema semplice
(quello che si ha non introducendo alcun altro osservatore se non i due
gemelli) non porta ad alcun paradosso; avrei gradito intanto chiudere la
questione semplice prima di aprirne una piu' complicata.
[...]
>Cerchiamo di metterci d'accordo almeno sul contesto sul quale ragionare.
>
>Il paradosso sostiene che il gemello viaggiatore torner� dal viaggio pi�
>giovane.
>Ci� dovrebbe valere per qualunque osservatore in moto inerziale.
Io direi che cio' dovrebbe vale per chiunque, indipendentemente
dal moto che compie: se e' piu' giovane e' piu' giovane (alla fine del
viaggio, cioe' quando entrambi occupano la stessa posizione) per tutti.
>Tu sostieni che il sistema � asimmetrico per via delle accelerazioni subite
>dal gemello viaggiatore, e te ne do atto.
>Per� confermi che di queste accelerazioni non va tenuto un conto
matematico,
>come sarebbe in RG, ma solo del fatto che rendono il sistema asimmetrico.
>Infatti non le conteggi nel tuo post, n� le riporta Einstein nella
>relativit� ristretta, per il calcolo del ritardo temporale del gemello
>viaggiatore.
No, no. Le accelerazioni vanno tenute in conto. E' a causa delle
accelerazioni che il moto si inverte. Nel caso da me riportato puo' sembrare
che non si tenga conto delle accelerazioni solo per il fatto che esse sono
state ridotte al minimo indispensabile (una accelerazione istantanea a
meta' viaggio e poi per il resto moto uniforme). Einstein nella relativita'
ristretta tiene conto delle accelerazioni per il calcolo del ritardo
temporale del gemello viaggiatore; la formula e':
Tau = integrale (fra 0 e T) di (1-(v(t)/c)^2)^0.5 dt
dove T e' il tempo trascorso per il gemello "fermo" G,
Tau il tempo trascorso per il gemello G' che ha subito accelerazioni,
v(t) e' la legge oraria della velocita' di G' vista nel sistema di G.
E' chiaro che perche' G' possa partire dalla stessa posizione di G
e poi tornare nella posizione iniziale, la legge oraria della sua
velocita' ( v(t) ) deve dipendere dal tempo, cioe' v(t) non puo'
essere costante, cioe' v(t) dovra' in qualche modo dipendere dalle
accelerazioni.
>Perch� per� poi rifiuti di considerarla dal punto di vista di un
osservatore
>inerziale che viaggi alla stessa velocit� dell'astronauta, bada bene, solo
>durante il viaggio di andata, ch� poi l'astronauta torna indietro, mentre
>l'osservatore continua il suo moto inerziale?
>Ti ripeto quello che si osserver� dai due punti di vista.
>Utilizzo il termine velocit� dimezzamento per intendere quella velocit�
>prossima a "c" alla quale in base alle equazioni di Einstein le lunghezze
>dimezzano, e dimezza pure la velocit� di scorrimento del tempo.
>Non uso le formule, non perch� non le conosca, ma perch� in questo formato
>grafico risultano illeggibili e impediscono di concentrarsi sul filo
logico.
>Stabiliamo pure in anticipo che sia durante il viaggio di andata, sia
>durante quello di ritorno, l'orologio a Terra batter� 100 colpi, 200 in
>tutto.
>
>1) Osservatore in quiete rispetto alla Terra:
>Il viaggiatore parte verso destra a velocit� dimezzamento, a tale velocit�
>l'orologio di
>bordo viaggia ad andatura dimezzata, pertanto durante l'andata sia a Terra,
>sia per qualunque osservatore in quiete rispetto ad essa arriveranno
>cinquanta impulsi dall'orologio di bordo. Idem nel viaggio di ritorno.
>50+50=100 contro i 200 dell'orologio a Terra.
>Pertanto al suo ritorno a Terra il gemello viaggiatore sar� pi� giovane di
>100 impulsi.
Direi che questo sia vero non solo
"sia a Terra, sia per qualunque osservatore in quiete rispetto ad essa ",
ma sia vero per chiunque. Il viaggiatore emette 100 segnali, 50 prima di
ricevere
l'impulso e 50 dopo. Qualsiasi osservatore, prima o poi, ricevera',
magari a frequenze strane, i 100 segnali.
Va notato che il gemello G fermo a terra, riceve i primi 50 impulsi
alla frequenza gamma(1-beta)omega e i secondi 50 alla frequenza
gamma(1+beta)omega.
beta=velocita' dimezzamento/c
gamma=(1-beta^2)^(-0.5)
omega=pigreco*200*velocita' dimezzamento/d
d e' la distanza fra G e il punto dove G' riceve l'impulso accelerante.
Questo naturalmente significa che per G i primi 50 impusi arriveranno
in un intervallo di tempo maggiore rispetto a quello nel quale si
riceveranno i secondi 50.
Diversa sara' la situazione per M, l'osservatore che si trova
nello stesso sistema di riferimento di G ma nella posizione x=d,
cioe' nella posizione dove G' riceve l' impulso;
M riceve da G' sempre 100 impusi, pero' i primi 50 li riceve alla
frequenza gamma(1+beta)omega, mentre i secondi 50 li riceve
alla frequenza gamma(1-beta)omega.
E questo significa che per M i primi 50 impusi arriveranno
in un intervallo di tempo minore rispetto a quello nel quale si
riceveranno i secondi 50.
>2) Osservatore in moto rettilineo uniforme verso destra a velocit�
>dimezzamento, rispetto alla Terra:
>secondo lui, che a suo parere � fermo, la Terra sta viaggiando verso
>sinistra a velocit� dimezzamento, pertanto l'andatura del tempo sulla Terra
>� dimezzata, e quindi sia durante il viaggio di andata che di ritorno
>dell'astronauta, l'orologio a Terra gli invier� 50+50=100 impulsi.
No. Qui sbagli.
G' riceve l'impulso accelerante quando il suo orologio segna la meta'
del tempo che segnera' alla fine del viaggio, e proprio in quell'istante
egli comincera' a ricevere i segnali provenienti da G a frequenza diversa.
Prima di ricevere l'impulso li riceve a frequenza gamma(1-beta)omega,
dopo li riceve a frequenza gamma(1+beta)omega. Questo fa si' che,
quando G' e' a meta' del suo viaggio e avra' quindi inviato 50 segnali,
egli avra' ricevuto da terra appena 13 segnali (se ho fatto bene i conti);
nella seconda meta' del viaggio riceve da terra 187 segnali.
Cioe', come ho gia' notato nel post originale, G' riceve da G per meta'
del tempo (segnato dal suo orologio) segnali a frequenza lenta
(gamma(1-beta)omega) e per l'altra meta' segnali alla frequenza veloce
(gamma(1+beta)omega).
Invece G riceve da G' per piu' della meta' del tempo (segnato dal suo
orologio)
segnali a frequenza lenta (gamma(1-beta)omega) e per meno della meta' del
tempo segnali alla frequenza veloce (gamma(1+beta)omega).
Insomma, la sostanza e' che la accelerazione avviene dove si trova G',
quindi li' immediatamente si risentiranno gli effetti della accelerazione
(cambia la velocita', quindi cambieranno le frequenze di ricezione);
prima che pero' tale cambiamento abbia effetto lontano
da quel punto (cioe' dove si trova G) deve necessariamente trascorrere
il tempo necessario perche' li', lontano, arrivi la luce alla nuova
frequenza.
Non puo' G risentire immediatamente degli effetti di cio' che e' successo
lontano dal punto dove si trova lui.
E' sulla base di considerazioni tipo questa che, in un precedente post,
ti ho detto che la relativita' va annoverata nell'ambito della fisica
"intuitiva";
Una volta capita ci si rende conto che deve necessariamente essere cosi'
(se non si vuole ammettere la cosa altamente non intuitiva che si possano
propagare segnali a velocita' infinita) ci si rende conto, fra l'altro,
che le cose sarebbero proprio paradossali se i due gemelli, alla fine
del viaggio, si ritrovassero ad avere la stessa eta'.
>Quando l'astronauta parte, rispetto a lui in realt� si ferma, pertanto il
tempo di
>bordo riprender� a scorrere regolarmente, e mentre la Terra gli invia i
>primi 50 impulsi, dall'orologio di bordo ne ricever� 100 (viaggio di
>andata).
No. Da terra non arrivano 50 segnali all'andata e 50 al ritorno,
ma 13 all'andata e 187 al ritorno.
L'orologio di bordo ne riceve 50 dall'astronauta e 13 da terra finche'
l'astronauta non riceve l'impulso. L'astronauta riceve l'impulso quando
sta emettendo il suo 50esimo segnale, cioe' molto prima di ricevere
da terra il 100esimo segnale.
>a questo punto l'astronauta per tornare a Terra avr� bisogno di viaggiare
>verso sinistra a velocit� superiore a quella di dimezzamento, velocit� che
>sar� intermedia tra quella di dimezzamento e "c", (nel precedente post l'ho
>chiamata di quarteggiamento, e credo che a conti fatti il termine sia
>giusto, ma ad ogni modo non ha importanza), dato che tale velocit� �
>inferiore a "c", alcuni impulsi dell'orologio di bordo raggiungeranno
>l'osservatore durante il viaggio di ritorno.
A conti fatti la velocita' che tu chiami "di quarteggiamento" (finalmente
ho capito cosa intendevi) vale -2*beta*c/(1+beta^2) ed e' importante
calcolarla se si vuole verificare che anche l'osservatore (chiamiamolo M')
che continua nel viaggio verso destra a velocita' v rispetto a G
(e che vede G' tornare verso G a velocita' -2*beta*c/(1+beta^2) )
concordera' con G e G' nel dire che, a fine viaggio G' e' piu' giovane di G.
Analizziamo cosa vede M'.
Scusami ma preferisco tornare alle mie notazioni che mi sembrano piu'
chiare (poi ho tutti i calcoli fatti cosi', ad ogni modo per tornare nelle
tue notazioni basta usare la formula beta=velocita' dimezzamento/c).
M' viaggia con G' finche' quest'ultimo non riceve l'impulso accelerante
cioe' fino all'istante (nel loro sistema di riferimento) t'=d/(v*gamma).
Durante tale intervallo di tempo M' riceve da G' segnali alla frequenza
omega e da terra segnali alla frequenza (gamma(1-beta)omega);
riceve quindi, durante tale intervallo di tempo, un numero di segnali pari a
N1G=(gamma(1-beta)omega)*t' da G, e
N1G'=omega*t' da G'.
Si puo' facilmente verificare che N1G' e' maggiore di N1G, quindi
possiamo dire che, all'istante t', M' "vede" G' piu' vecchio di G.
Dopo l'istante t', M' continuera' a ricevere da G segnali alla stessa
frequenza (gamma(1-beta)omega).
E' importante calcolare l'istante al quale M' ricevera' l'ultimo segnale
da G (contemporaneamente ricevera' anche l'ultimo segnale da G'
perche' i due segnali partiranno dallo stesso punto e cioe' nel
punto dove si e' sempre trovato G e dove alla fine si ritrova
anche G').
Tale segnale viene emesso da G quando il suo orologio segna
l'istante t=2*d/v. Il segnale viaggia alla velocita' c e raggiunge
M' (che si e' mosso a velocita' v partendo dalla posizione x=0
all'istante t=0) all'istante tf=2*d/(v*(1-beta)) nel punto di ascissa
xf=2*d*beta/(v*(1-beta)). Eseguendo le trasformazioni di Lorentz
si ha che per M' tale istante sara' tf'=2*d/(gamma*v*(1-beta)),
la posizione sara' ovviamente x'=0.
Quindi, durante l'intervallo di tempo tf'-t', M' ricevera' da G un numero
di segnali pari a:
N2G=(gamma(1-beta)omega)*(tf'-t');
in totale NGtot=N1G+N2G=omega*2*d/v,
cioe' M' avra' ricevuto da G un numero di segnali esattamente uguale al
numero di segnali emessi da G (come e' ovvio naturalmente, ma qui
il punto e' proprio di mostrare che la relativita' non cade in
contraddizione,
che G e M' sono daccordo, il primo nel dire "ho emesso 200 segnali",
il secondo nel dire "ne ho ricevuti da te 200").
Nel frattempo M' riceve segnali anche da G' e li riceve alla frequenza
(a conti fatti) omega*(1-beta)/(1+beta); quindi durante l'intervallo
di tempo tf'-t', M' ricevera' da G' un numero di segnali pari a:
N2G'=(omega*(1-beta)/(1+beta))*(tf'-t');
in totale, svolgendo i calcoli,
N2tot=N1G'+N2G'=omega*t'+(omega*(1-beta)/(1+beta))*(tf'-t')=
=omega*2*d/(gamma*v).
Cioe' M', alla fine, avra' ricevuto da G' un numero di segnali inferiore
rispetto a quello ricevuto da G.
G, G' e M' concorderanno nel dire che G' e' piu' giovane per un fattore
gamma.
In chiusura concedimi una domanda di carattere prettamente personale:
"Sei per caso uno studente di liceo?".
Te lo chiedo perche', essendo io un insegnante, trovo che spesso
i testi trattano la relativita' in maniera troppo "approssimata";
inoltre spesso, per questioni di tempo, la materia viene svolta in classe
in maniera ancora piu' approssimata.
Tutto cio' puo' far si' che, magari proprio gli studenti migliori, quelli
che
si rifiutano di credere alle cose perche'
"c'e' scritto sul libro" o perche' "lo ha detto il professore", possano
incappare in clamorosi errori, fecendosi guidare dall'intuito, senza avere
i mezzi per riconoscerli come tali.
Io, proprio per questo, la relativita' la salto completamente.
Insomma, per capire bene la questione non ci si puo' basare soltanto
su testi di liceo, sono necessari testi universitari (almeno cosi' sembra a
me).
>Ciao, Mauro.
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
email:nospamb.cocciaro_at_leonet.it togliere "nospam" per avere il
corretto indirizzo.
-------------------------------------------------------------------------
Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
Li spingemmo oltre il bordo. E volarono.
--------------------------------------------- (G. Apollinaire)
Received on Wed May 26 1999 - 00:00:00 CEST