On 10 May 1999, Marco Dalai wrote:
> Nello studio del corpo rigido ci hanno detto che la traslazione di un
> corpo sottoposto a diverse forze dipende solo dalla risultante e che non
> dipende dai vari punti di applicazione. Questo significa che se
> trasciniamo un cilindro con una forza applicata nell'asse o con un filo
> avvolto attorno (con la stessa forza), l'accelerazione del centro di
> massa � uguale? E la rotazione avviene sempre attorno al CM se non ci
> sono vincoli?
Dopo molti anni di arrugginimento mi cimento in questo problemino di
meccanica chissa' se sono ancora capace? Chiedo anticipatamente clemenza ;-)
Nello studio del corpo rigido occorre tenere conto della risultante delle
forze e del momento risultante. Il corpo e' in equilibrio quando sia
risultante che momento risultante sono zero. Qui siamo ancora nel dominio
della statica.
Quando le risultanti (delle forze o dei momenti) non sono nulle si entra
nel campo della dinamica. Nell'impostare le equazioni del moto occorre
ricordare che il moto puo' essere descritto come la composizione di una
traslazione di un punto dotato di tutta la massa del corpo concentrata nel
centro di massa (e si usa la relazione F=ma dove F e' la risultante delle
forze, m la massa ed a l'accelerazione del punto materiale) e di una
rotazione intorno ad un asse passante per il centro di massa (e la
relazione e' C = Jw", dove C e' la coppia risultante, J il momento di
inerzia riferito all'asse di rotazione e w" l'accelerazione angolare)
> Dovrebbe essere cos�, ma ci sono degli esempi che mi lasciano perplesso.
> immaginiamo, per esempio, di avere un disco, sul quale sia appiccicato
> un altro disco di raggio minore. Se ora avvolgiamo un filo sul disco pi�
> grosso in senso orario e uno sul disco pi� piccolo in senso antiorario,
> e tiriamo un filo verso destra e uno verso sinistra (in modo tale che i
> fili siano tangenti ai dischi sullo stesso raggio) con la stessa forza,
> il disco inizia a ruotare senza traslare; infatti la risultante delle
> forze � nulla. E' giusto?
La descrizione dell'esperimento mi risulta oscura; in particolare la frase
fra parentesi. Mi sembra di capire che i due dischi sono tangenti e quello
piu'�piccolo e' contenuto in quello piu' grande. In tal caso i due fili
esercitano forze che sono applicate (considerando il filo di spessore
nullo) nello stesso punto e con direzioni opposte: la risultante e' nulla
ed il momento risultante pure. Il corpo resta immobile
> O ancora: prendo due dischi uguali; uno lo avvolgo con un filo lasciando
> uscire un'estremit� del filo che vado a fissare sull'altro disco. Poi
> metto il filo a cavallo di una carrucola ideale. Lasciando andare tutto
> (tranne la carrucola..ah ah!!) i due corpi dovrebbero cadere con la
> stessa accelerazione verso il basso perch� la tensione del filo dovrebbe
> agire allo stesso modo agli effetti della traslazione. Anche questo �
> giusto?
Anche questo esperimento non e' chiaro. Forse intendi che il secondo disco
e' semplicamente attaccato al filo senza che questo vi sia avvolto
intorno? In tal caso uno dei due oltre a traslare ruota. Se ho capito
il seguente disegnino dovrebbe rappresentare la cosa:
__ Per capire cosa succede occorre scrivere le equazioni
/ \ del moto:
/ \
| | Per il disco di sinistra:
| |
___ | _|_ F = ma; F = mg-R (dove R e' la trazione eserci
/ \| / | \ del filo ed a l'accel. del C.m.)
| + | | + | 1. mg-R = ma
\_|_/ \_|_/
| | E per la parte rotazione:
V V
mg mg C = Jw"; Rr = Jw" (dove r e' il raggio del disco)
Sfruttando un po' la geometria dell'esperimento si puo'
dire che:
w" = (a+a )/r infatti l'angolo di rotazione del disco
1 e' pari alla somma degli sposta-
menti dei due centri di massa (x+x )
1
divisa per il raggio del disco,
e la sua derivata seconda (acceleraz.
angolare) e' pari alla somma
delle due accelerazioni
2. Rr = J(a+a )/r [J puo' essere calcolata conoscendo la
1 massa ed il raggio del disco (e suppo-
nendo che sia un cilindro omogeneo)]
Per il disco di destra:
3. mg-R = ma
1
Abbiamo dunque 3 equazioni e 3 incognite (a, a , R) e, come al solito
la soluzione viene lasciata al lettore. 1
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Received on Wed May 12 1999 - 00:00:00 CEST