Re: Cosa vuol dire "invariante" in fisica relativistica

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Thu, 4 May 2023 21:41:16 +0200

Quanto segue era scritto in un post che ho spedito il 2, alle 16:53.
Dato cha non è ancora apparso presumo che si perso per strda, quindi lo
ripropongo.

Intervengo per esporre alcune riflessioni che ho fatto seguendo questa
discussione senzxa partecipare gran che.
Premetto solo che auspicherei da tutti un atteggiamento più moderato,
senza affermazioni perentorie, tipo "non può in alcun modo essere
così".
La discussione è utile se e solo se ciascuno è disposto a seguire gli
argomenti altrui sforzandosi di capirne il significato, anche quando
non li condivide.
Farei eccezione solo per affermazioni di carattere matematico preciso,
tipo "il tale spazio non è piatto".
Dato che esiste un modo certo per decidere se la detta proposizione è
vera o no, qui non avrei da ridire se qualcuo scrivesse "questo non è
assolutamente vero".

Ho riletto le prime pagine di "Gravitation" e ho fatto bene: capita
spesso che le pagine introduttive di un libro del genere vengano
trascurate o sorvolate, ritenendole di scarsa sostanza.
Infatti ora ho capito meglio il punto di vista degli autori (oserei
dire di Wheeler).

Il punto centrale è la caratterizzazione di un "evento".
Un evento si caratterizza descrivendo ciò che accade in quel punto
dello spazio-tempo, senza introdurre coordinate di alcun genere.
Viene fatto un esempio significativo: in Giappone (non ci sono mai
stato ma è cosa che non mi riusciva nuova da letture o altro) spesso
nelle città le strade non hanno nome e le case non hanno numero.
Una casa viene identificata in altri modi: per es. dal nome di un
vecchio abitante.
Così è per gli eventi: vengono cartatterizzati da ciò che acccade, per
es. una particella che decade, due particelle che s'incontrano, o
simili.
L'insieme degli eventi è lo spazio-tempo.

Così si può anche caratterizzare una curva: per es. la storia (fatta
di eventi) dell'elettrone emesso in un dato decadiemnto beta.
A questo punto la fisica si riveste di matematica, in quanto - su basi
fisiche sperimentali - si assegna allo spazio-tempo una qualche
struttura.
Qui lascio un po' "Gravitation" per usare un linguaggio più preciso e
più moderno.
Lo spazio-tempo è prima di tutto uno spazio topologico, poi una
varietà di dimensione 4.

(Parentesi: la definizione usuale di varietà si basa sulla possibilità
di definire nello spazio in questione delle *coordinate*, con la
massima libertà nella loro scelta. Mi pare però di aver letto che
esista la possibilità di dare una definizione di varietà senza parlare
di coordinate: qualcuno ne è al corrente?)

Qui si produce una diramazione tra RR e RG; se ci occupiamo della
prima, lo spazio-tempo è dotato della struttura di *spazio affine*.
Ossia, allo spazio topologico S è associato un spazio vettoriale V sui
reali, di dim. 4, con un insieme di operazioni.
Gli elementi di V vengono chiamati "vettori" o anche "spostamenti":
questo perché da un punto A di S e da uno spostamento u si ottiene un
nuovo punto B (indicato con A+v).
In questo modo da uno stesso punto A si possono ottenere tutti i punti
di S, ciascuno in un solo modo.
(Incidentalmente, l'essere (S,V) uno spazio affine permette di
definire, in infiniti modi, un sistema di coordinate su tutto S.
Credo sia ovvio come fare.)

In realtà la struttura dello spazio-tempo im RR è anche più ricca, ma
per ora posso farne a meno.
Per la discussione se la 4-velocità sia o no invariante e più
importante dare un definizione di "riferimento" (abbreviazione di
"sistema di riferimento", ma la parola "sistema" è così ubiqua in
fisica che preferisco lasciarla cadere). Sottintendo anche si tratti
di un rif. inerziale e d'ora in poi scriverò semplicemente "rif."

E' già stato detto che un rif. K in RR deve intendersi come un corpo
fisico, più esattamente un corpo rigido, dotato di moto traslatorio
uniforme.
Dato che siamo in uno spazio affine, dove è definito sia il concetto
di retta sia quello di rette parallele, posso definire il corpo rigido
in moto traslatorio uniforme (sott. rettilineo) come un corpo tale che
le linee orarie dei suoi punti sono tutte rette parallele.
Inoltre un rif. è un laboratorio, ossia è dotato di tutti gli
strumenti occorrenti per misurare le grandezze fisiche d'interesse.
Strumenti sempre necessari sono gli *orologi*, che saranno
sincronizzati nel modo standard (alla Einstein).
In questo senso si può parlare di "tempo del rif. K".

Detto tutto questo, passiamo a discutere il concetto di "invariante".
Comincio osservando che dire invariante non ha alcun senso se non si
specifica rispetto a quale/i trasformazione/i.
E soprattutto quali sono le entità su cui la trasf. agisce.
Un punto che non è mai apparso nella discussione è la distinzione tra
punto di vista attivo e passivo.
Questa distinzione riguarda gli oggetti (anche nel senso di fenomeni)
che esistono (avvengono) e i rif. (laboratori) dai quali vengono
"osservati" (misurati).
Nel punto di vista attivo l'oggetto (fenomeno) subisce una qualche
trasf., mentre il rif. rimane inalterato.
È l'opposto nel punto di vista passivo: si lasciano invariati gli
oggetti (fenomeni) e si cambia il rif.
In entrambi i casi ciò che interessa è che cosa accade alle grandezze
misurate, la loro legge di trasf.

A questo punto si comincia a vedere che cosa c'è dietro la
discussione: chi sostiene l'invarianza della 4-velocità pensa agli
oggetti "in sé" e a un punto di vista passivo. Gli oggetti restano
intoccati, mentre i risultati delle misure possono cambiare al variare
del rif.
Da un punto di vista attivo invece un corpo in moto viene trasformato,
quindi cambia la linea oraria e anche la 4-velocità.

Però anche da un punto di vista passivo (l'ho già detto) pur se il
corpo non viene toccato, per es. cambia la sua energia a seconda del
rif. da cui la si misura.
Si dirà "grazie tante, l'energia è una componente del 4-vettore mv (v
4-velocità) e se si cambia rif., quindi base, è normale che le
componenti cambino; ma il 4-impulso mv come *oggetto geometrico* resta
invariato.

Tuttavia, posso anche definire l'energia come mv.u essendo u la
4-velocità del rif.
Ci si potrebbe aspettare a prima vista che come prodotto scalare di
due 4-vettori debba essere invariante...
Non lo è perché abbiamo cambiato rif.: al posto di K con 4-velocità u
siamo passati a K' con 4-velocità u'; non c'è niente di strano se u.v
è diverso da u.v'...
Nel punto di vista attivo sarebbe cambiata u, divenendo u', e saremmo
passati da u.v a u'.v.
Il cambiamento c'è in entrambi i casi, per motivi diversi.

Nota. Tutti avranno notato che a un certo punto sono apparsi i
prodotti scalari, che in uno spazio affine non sono definiti.
Questa era appunto la struttura in più cui avevo alluso: lo
spazio-tempo non è solo uno spazio affine, ma anche uno spazio
pseudo-euclideo, dove è definito un prodotto scalare o se preferite un
tensore metrico (con segnatura +--- oppure -+++ a seconda dei gusti,
ma questo è il significato del prefisso pseudo-)
Received on Thu May 04 2023 - 21:41:16 CEST