Re: FFT

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Thu, 27 May 2010 21:06:51 +0200

Giordano ha scritto:
> Ora s�, ma non ho capito un cosa: quel benedetto grafico dello
> spettro, come funziona? E va bene che le sinusoidi sono 2D, ma questo
> spettro fatti di punti in quattro quadranti di un grafico cartesiano
> dovreste un po' spiegarmelo. Io non ci ho capito nulla, ma questa
> mattina ho avuto una illuminazione: la stessa sinusoide 2D pu�
> sommarsi alle altre in infiniti modi (ferma restante fase, frequenza e
> ampiezza): e cio� in virt� della direzione che, a naso, specificherei
> con un vettore normale al fronte d'onda.... Va beh... meglio che mi
> taccia!
Direi che hai capito il gioco: per definire una funzione sinusoidale in
2D devi anche specificare una direzione.
Se imparerai a usare gli esponenziali complessi invece delle f.
sinusoidali reali, scoprirai che anche questo gioco diventa molto
piu' semplice.
Ma per ora non ti voglio anticipare il trucco :)

> Ho capito, poi, che le operazioni tra questi numeri su fanno proprio
> come si trattasse di un normale binomio, tenendo presente che i^2 =1
> Ho capito come � fatto il piano di Gauss. Ma non ho mica capito che
> nesso ci sia tra le sinusoidi e tutto ci�! Magari.... qualcuno
> potrebbe darmi una dritta.... uno a caso insomma ;-)
Infatti. Questo e' il problema centrale.
In termini generali, si tratta di vedere come vanno estese ai
complessi le operazioni che sai fare sui reali, e alcune funzioni
fondamentali, come appunto l'esponenziale.
Il criterio generale e' che si cerca di mantenere se possibile tutte le
proprieta' che valgono nel campo reale.
Per es., se w, z sono due numeri complessi, cercheremo di definire
l'esponenziale in modo che sia e^(w+z) = e^w * e^z.

In particolare, essendo z = x+iy, chiediamo che valga e^z = e^x *
e^(iy).
Dato che e^x sappiamo che cos'e', il solo problema che resta e'
definire e^(iy)

Alberto ha scritto:
> L'argomento �: esponenziali complessi
> e^iy= cos(y)+i*sin(y)
Ecco: questa e' la relazione (scoperta da Eulero).

> Un caso particolare � la Formula di Eulero
> e^ip=1 ( p � il pigreco)
Magari col segno giusto: e^(ip) = -1.

Problema: come giustificare la relazione di Eulero? Lo si puo' fare in
piu' modi. Provo a esporre quello che ti dovrebbe essere piu' accessibile.
Mi aspetto che anche nel campo complesso la funzione esponenziale abbia
le stesse proprieta' per la sua derivata. Quindi, posta
f(y) = e^(iy),
mi aspetto
f'(y) = i e^(iy) = i f(y). (1)

E' facile vedere che se definisco

g(y) = cos(y) + i sin(y)

anche per g(y) vale

g'(y) = i g(y).

Basta questo per concludere f(y) = g(y)?
No, perche' se moltiplicassi per es. f(y) per una costante qualsiasi,
la (1) continuerebbe a valere.
Debbo dunque aggiungere una "condizione iniziale", per es. imporre
f(0) = g(0).
Puoi verificare che f(0) = e^0 = 1, e che anche g(0) = 1.
Questo basta per garantire che e' sempre f(y) = g(y) per ogni y.
(Sotto c'e' un teorema che non conosci, ma che forse puoi accettare
intuitivamente.)

Un'altra strada passerebbe per gli sviluppi in serie di potenze, ma
non credo ti siano familiari.

Un'altra osservazione: ora che conosci il piano di Gauss, abituati
anche a vedere i complessi come vettori nel piano. Per certe
applicazioni (spec. in elettromagnetismo e onde) questo e' molto
utile.
                         

-- 
Elio Fabri
Received on Thu May 27 2010 - 21:06:51 CEST

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