Densita' della Lagrangiana

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/10/29

Raskolnikof wrote:
>
> Elio Fabri ha scritto:
>
> ...
> >2) che l'invarianza relativistica richiede che l'azione sia invariante,
> >e quindi lo deve essere pure la densita'.
>
> Forse vale la pena di ricordare che la necessita' che l'invarianza
> dell'azione implichi
> l'invarianza della densita' di lagrangiana discende dal fatto
> che l'elemento infinitesimo di volume quadridimensionale su
> cui si esegue l'integrazione e' esso stesso un invariante di Lorentz.
>
> ...
E' vero! Immagino che Elio quando dice invarianza relativistica
dell'azione intende invarianza dell'integrale della lagrangiana eseguito
su un qualsiasi volume dello spaziotempo e non (solo) su tutto lo
spaziotempo. (Il teorema di Noether si prova sotto tali ipotesi).
Il fatto che questo tipo di invarianza implichi quella della Lagrangiana
non e' vero in generale, mentre e' vero e si ha equivalenza tra le due
cose, se lo Jacobiano della trasformazione vale
1 identicamente (il caso del gruppo di Poincare' gode di tale
proprieta') proprio come dice Raskolnikof.


>
> >Il fatto che in tutti i casi la dens. lagr. sia espressa mediante i
> >campi o le loro derivate prime, e che l'azione sia un integrale 4-dim.
> >della dens. lagr., caratterizza queste teorie come *locali*.
>
> Puoi dare una definizione piu' completa di teoria locale?

Bisogna che i campi e le loro derivate prime compaiano come combinazioni
lineari di prodotti tutti valutati nello stesso punto
dello spaziotempo.

> Per avere una teoria locale basta semplicemente che nella
> densita' di lagrangiana siano presenti solo i campi con le
> relative derivate prime?
>

No, bisogna anche che compaiano nel modo che ho scritto sopra.


> >In una teoria non locale potrebbero esserci interazioni fra campi in
> >punti distanti dello spazio-tempo, e allora l'azione non sarebbe
> >l'integrale di una densita' locale.
>
> Questo punto non e' molto chiaro. Anche in una teoria locale
> si hanno interazioni, se pur via via sempre piu' deboli, con punti
> distanti dello spazio tempo. Tra l'altro questo e' il motivo per cui
> l'integrale della densita' di lagrangiana si estende a tutto lo
> spazio-tempo.


Credo che non sia necessario integrare l'azione su tutto lo spaziotempo,
se la teoria e' "locale" e' sufficiente lavorare
nell'intorno di un punto per ottenere le equazioni del moto in quel
punto tramite il principio variazionale.

Credo che Elio intenda interazioni "istantanee". Se la teoria e'
invariante di Poincare', locale, cioe' la densita' di lagrangiana e'
del tipo che ho detto sopra, le equazioni del moto sono equazioni
differenziali iperboliche (caso a parte le lagrangiane con spinori
che comunque non cambiano la minestra). Cio' implica una propagazione a
velocita' finita delle perturbazioni ed in modo causale (all'interno del
cono di luce). Se la localita' e' perduta, in generale si hanno
equazioni integro-differenziali dove a priori "tutto e' permesso".

>
> Ciao, Raskolnikof
                                                                                                                 

Ciao, Valter
Received on Thu Oct 29 1998 - 00:00:00 CET