aiuto: spazio L^2 e suo duale

From: Guido Aversano <aversano_at_tin.it>
Date: 1998/09/16

On 15 Sep 1998 12:05:34 +0200, Valter Moretti
<moretti_at_science.unitn.it> wrote:

>>
>> Lo spazio di Hilbert L^2 e il suo spazio duale sono o non sono
>> isomorfi?
>
>Sono isomorfi
>
> Il funzionale che citi non ammette rappresentazioni come elemento
> del duale PERCHE' E' UN FUNZIONALE NON LIMITATO e nel duale si
> rappresentano solo i funzionali limitati.
>
> Nel caso in esame se per definire l'integrale di Fourier usi
> l'esponenziale exp{ikx}, allora considera la classe di funzioni
> (n=0,1,2....) di L^2(R)
>
....
>
> Questo prova che il funzionale non e' limitato e fine della
> discussione.
 
Grazie per la spiegazione, e' stata chiarissima... Mi e' stato anche
suggerito (nel gruppo it.scienza.matematica) che i funzionali
rappresentati nel duale devono essere continui e che quello da me
scritto non e' continuo.

>. Il funzionale che dici non e'
> nemmeno definito in quanto la trasformata di Fourier non e'
> definita su L^2, ma devi estenderla in quella di Fourier-Plancherel.

Questo lo sapevo :)

Adesso il discorso dovrebbe "tornarmi" anche nell'applicazione di
questo in meccanica quantistica (ditemi se sbaglio!):
L^2 e' isomorfo al suo duale; pero' se ci limitiamo a considerare un
suo sottospazio S fatto di funzioni che presentino certe condizioni di
regolarita' il duale di S non sara' piu' isomorfo a S perche' ad
esempio il funzionale "trasformata di Fourier-Plancherel" sara'
limitato e continuo su S; percio' ci saranno elementi del duale di S
che non corrispondono ad elementi di S (bra che non corrispondono a
ket propriamente detti). Vero?
Received on Wed Sep 16 1998 - 00:00:00 CEST