Quanto sono strani i fotoni!

From: Valter Moretti <moretti_at_science.unitn.it>
Date: 1998/06/25

Elio Fabri wrote:
> > 3) Il fatto che si lavora con le estensioni aggiunte e non
> > con gli operatori di partenza e' cio' che richiede quelle
> > strane condizioni sugli autovettori (propri)
> > dell'hamiltoniano dell'atomo di idrogeno (lemmi di Kato):
> Quali strane condizioni?
> Che dicono i lemmi di Kato (mai sentiti nominare)?
>

  Eccomi qui, prima di tutto, ovviamente per l'atomo d'idrogeno
  non ci sono "strane condizioni" (o meglio anche in quel caso ce n'e'
  una sola ma e' piu' banale, vedi sotto), ci sono invece delle
  "strane condizioni", ed era questo che
  volevo dire, se si altera il potenziale coulombiano prendendo un
  potenziale con discontinuita' e singolarita' piu' estese.
  Per esempio superfici di discontinuita' per problemi in 3D.
  Anche nei problemi unidimensionali a volte si prensono potenziali
  con tanti scalini e quindi non smooth ovunque...
  In tutti questi casi le autofunzioni proprie (ma anche quelle
  improprie) sono richieste avere un certo comportamento sulle
  discontinuita' e singolarita' isolate: devono essere
  continue con derivate prime normali continue e deve esistere il
  limite sulle singolarita' isolate del potenziale
  [caso dell' atomo di idrogeno].
  Sono proprio queste richieste di saldatura che determinano lo
  spettro in definitiva.
  Bene, a me queste condizioni sono sempre sembrate abbastanza
  arbitrarie (ricordo che feci impazzire il buon Passatore
  di cui ero studente e lui non seppe mai darmi una risposta
  definitiva sul perche' di esse). Tutte queste condizioni
  in realta' derivano dal fatto che le soluzioni che si cercano
  dell'equazione agli autovalori sono relative all'aggiunto
  dell'operatore considerato e non all'operatore stesso che e'
  solo essenzialmente autoaggiunto, quelle condizioni sono conseguenze
  di come e' fatto il dominio dell'aggiunto.
  I lemmi di Kato sono una serie di teoremi dovuti al matematico Kato
  che si occupano di stabilire le proprieta' di autoaggiunzione e
  essenziale autoaggiunzione (quindi anche dei domini) di operatori
  hamiltoniani del tipo atomo di idrogeno con potenziale piu' generale
  e in piu' dimensioni.
  Credo che tu li possa trovare sul Reed & Simon di analisi
  funzionale.

> Da qui in poi un po' capisco e un po' no.
> Non vorrei che ci impegolassimo in una questione che interessa solo noi
> due, ma chiedo:
> Per quanto riguarda l'energia cinetica, fa ovviamente differenza se
> imponi annullamento al contorno o periodicita'. Perche'?
>
  Perche' quell'operatore (derivata seconda) e' al solito
  essenzialmente autoaggiunto sia nel dominio con funzioni smooth
  che si annullano sul bordo sia sul dominio delle funzioni
  periodiche, pero', ed e' qui il punto, gli aggiunti (=i veri
  operatori energia cinetica) calcolati sui rispettivi domini
  estesi NON coincidono.
  Quando un operatore e' essenzialmente autoaggiunto su un preciso
  dominio, ammette un unica estensione autoaggiunta (la chiusura
  dell' operatore di partenza, cioe' l'aggiunto), in tale dominio:
  cioe' posso estendere tale dominio e l'operatore in esso
  in un unico modo per ottenere un operatore autoaggiunto.
  Se pero' cambio il dominio iniziale in modo non banale (prendo un
  dominio che non e' incluso nel precedente o non lo include, ma ha
  solo un intersezione) e l'operatore cosi' ottenuto e' ancora
  essenzialmente
  autoaggiunto nel nuovo dominio, non e' detto che le due estensioni
  coincidano. Questo e' il caso dell'energia cinetica nella scatola.
 
 
> > Quello che si vede e' che, esistono SEMPRE estensioni
> > autoaggiunte di tale operatore purche' il dominio sia scelto
> > decentemente (per esempio le funzioni Cinfinito che si
> > annullano sul bordo), e questo e' dovuto al fatto che gli
> > operatori considerati sono simmetrici e commutano con un
> > operatore antiunitario di coniugazione (per es coniugazione
> > complessa + cambiamento di segno dell'argomento per scatola
> > cubica con centro nell' origine).
> Al tempo! Quando sento parlare di operatori antiunitari, non diro' che
> metto mano alla pistola, ma insomma mi sento sempre un po' a disagio.
> Comunque questa non l'avevo mai sentita. Me la spieghi un po' meglio?
>

  Certo, e' un vecchio teorema di Von Neumann.
 
  Dice cosi' (e la dimostrazione e' abbastanza facile)
  "Se A: D -> H (D varieta' lineare inclusa densamente in H spazio
  di Hilbert) e' un operatore simmetrico, ed esiste un operatore
  antilineare C: H ->H, isometrico ed involutivo (C^2 =I), allora
  A ammette estensioni autoaggiunte."

  La prova si basa sul fatto che se siamo nelle ipotesi dette,
  gli indici di difetto d+ e d- di A sono uguali.


> > Se non ricordo male, ma sono quasi sicuro, la fregatura e'
> > che ora, definendo l'operatore posizione nel modo piu' ovvio,
> > accade la disgrazia che non esiste piu' alcun dominio comune
> > ed invariante per entrambi gli operatori per cui non ha piu'
> > senso scrivere le relazioni di commutazione di tali
> > operatori.
> Magnifico!
> Ci sara' sicuramente un rimedio (la fantasia dei matematici e' quasi
> infinita ;-) ). Ma capisco che e' meglio non raccontarlo ai minorenni
> (leggi studenti di Istituzioni) :-))
>

  Credo che ci sia il modo di uscirne, gli esperti sono Toller
  e R. Giannitrapani perche' hanno incontrato problemi simili
  (se non ricordo male) cercando l'operatore "tempo".
  Si tratta di riformulare la MQ usando "misure a valori di operatori
  positivi" invece di "misure a valori di proiezione". Ma non ricordo
  altro e potrei anche essermi confuso. Se hai una copia della tesi di
  dottorato di Riccardo forse sopra ci trovi qualcosa.


> > ...
> Ma insomma, c'e' un modo matematicamente pulito e decentemente semplice
> di fare la m.q. di una particella in un solo grado di liberta' (e mi
> scuso se chiedo troppo...)
>
  E' vero, a volte le cose che sembrano piu' semplici sono poi le piu'
  difficili!!! :-)
  

> Ultima domanda: e' vero quello che credo di sapere, ossia che su una
> semiretta la derivata non ha estensioni autoaggiunte?

Per rispondere doversti precisare i domini della derivata (credo che poi
metti un fattore i davanti alla derivata no?). Prendiamo per esempio
come dominio le funzioni C infinito a supporto compatto. Su questo
dominio l'operatore e' banalmente simmetrico, in particolare c'e'
l'aggiunto.
Non resta altro che vedere se i nuclei degli operatori
A*+iI e A*-iI hanno le stesse dimensioni, cioe' sono in corrispondenza
biunivoca tramite un operatore unitario. Solo in tal caso esistono
estensioni autoaggiunte di A.
 A* e' l'aggiunto di A che e' i per la derivata. Nel nucleo del primo
operatore (A*+iI) c'e' senz'altro
exp{-x} che e' L^2 proprio perche' siamo sulla semiretta (positiva)
Non c'e' l'analoga funzione exp{x} nel nucleo dell'altro operatore
perche' diverge furiosamente a +oo! Sostanzialmente per tale fatto
i due nuclei non hanno le stesse dimensioni (la cosa non e' pero' cosi'
ovvia perche' ho lavorato con l'operatore e non con l'aggiunto,
bisognerebbe dire ancora delle cose, bisognerebbe provare per bene
che nel nucleo di A*+iI c'e' solo lo spazio lineare generato da exp{-x}
e che invece il nucleo dell' altro operatore e' banale.
Comunque la strada e' quella.)

> Se e' vero, ha un qualche significato fisico?

secondo me ci sono solo due casi: o la meccanica quantistica
si puo' formulare in termini di operatori non autoaggiunti oppure
non esiste l'operatore impulso (o almeno non e' la derivata per -i)
sulla semiretta. Ma credo che sia la stessa risposta che ti sarai
gia' dato tu.

E poi io ormai sono un matematico! Anche se ho ancora un piede nel
corso di Fisica II, ho tradito la fisica, quest'ultima tua
domanda e' priva di senso per me ;-)


Spero di essere stato comprensibile almeno per te.

Ciao, Valter
Received on Thu Jun 25 1998 - 00:00:00 CEST