Effe ha scritto:
> In alcune risposte sono venuti fuori termini che non conosco. Sto
> cercando di capirne qualcuno.
Quello sarebbe il meno. Il brutto è che è successo quello che capita
regolarmente in quel NG: sono intervenute persone che non avevano
niente da dire, o peggio, persone che non possono fare a meno di dire
cose sballate pensando che loro sì che sanno la fisica :-(
> No no, me ne sono accorto, eccome! Anche se l'ho fatto in modo
> superficiale. Stessa cosa, per esempio, anche con la termodinamica.
> Solo che con l'elettromagnetismo e la termodinamica la partenza è
> stata diciamo più "morbida". Per esempio, l'anno scorso abbiamo
> iniziato l'elettrostatica con la legge di Coulomb che almeno per come
> l'ho vista io non è stata problematica, poi siamo passati al campo
> elettrico e poi via via tutti gli altri argomenti fino ad arrivare
> alle equazioni di Maxwell e alle onde elettromagnetiche, argomenti
> decisamente complessi.
Per spiegarti che cosa avevo in mente basta fermarsi
all'elettrostatica, confrontandola con la meccanica.
C'è un profondo cambiamento concettuale, ci sono idee nuove che si
portano dietro (e si legano) una matematica di altro livello di
complessità.
Mi spiego meglio.
Nella meccanica si comincia col moto di "punti materiali" (e in realtà
qui ci sono questioni delicate: quand'è che un corpo può essere
trattato come punto materiale? basta che sia piccolo? Mica vero...).
Il moto di un punto materiale viene descritto come moto di un punto
nello spazio in funzione del tempo.
Se lo spazio lo rappresenti con 3 coordinate, avrai a che fare con
tre funzioni della variabile reale tempo: x(t), y(t), z(t).
La seconda legge della dinamica fa entrare in gioco le derivate
seconde di queste funzioni rispetto al tempo e il concetto di eq.
differenziale (non so se di questo hai conoscenza).
Si tratta di concetti, fisici e matematici, costruiti nel '700
(Eulero) e anche prima (Newton).
Se invece di un punto hai un sistema rigido le cose si complicano, già
troppo per il livello liceale, dove si trattano solo alcuni casi
semplici, come la rotazione attorno a un asse fisso.
Il caso generale del moto di un corpo rigido richiede la
specificazione della sua posizione nello spazio in funzione del tempo,
e tre coordinate non bastano: ce ne vogliono 6.
Più complicato, ma hai sempre un certo numero di funzioni dell'unica
variabile tempo.
Che cosa succede in elettrostatica?
La legge di Coulomb viene presentata prima come legge della forza tra
due cariche, e fin qui è semplice.
Ma poi s'introduce un concetto nuovo: il /campo elettrico/.
Che genere di oggetto è dal punto di vista matematico?
Il campo elettrico, come la forza, è un vettore, che per essere
individuato richiede di assegnare per es. le sue 3 componenti rispetto
a un certo sistema di cordinate cartesiane (ci sono anche altri modi).
Ma non è questa la difficoltà: è che il campo è definito *punto per
punto* nello spazio (la parola "campo" allude a questo).
Quindi è funzione non di una sola variabile (il tempo) ma di *tre*: le
tre coordinate di ciascun punto dello spazio.
Siamo dunque passati a funzioni di *tre* variabili reali: un capitolo
della matematica che ha avuto pieno sviluppo nell'800.
Parallelamente bisogna imparare a "pensare" questo nuovo oggetto, che
si visualizza molto meno facilmente del singolo punto che si muove.
Il campo elettrostatico non si muove, ma è presente in tutto lo
spazio, e in genere cambia da punto a punto.
Anche le sue leggi fisiche prendono un forma più complicata.
Tu le conosci:
- il campo è /conservativo/ (circuitazione nulla)
- il suo flusso attraverso una superficie chiusa dà la carica
racchiusa (divisa per eps0, ma questo è un dettaglio derivante dal
tipo di unità di misura scelte).
Queste leggi che conosci sono di tipo /integrale/, e hanno le
corrispondenti forme differenziali:
- rot E = 0
- div E = rho/eps0.
Quando ho deto che avevi visto queste cose in modo superficiale,
intendevo che al liceo nn si va oltre casi molto semplici, dove il
problema del campo si risolve facilmente grazie alla simmetria.
Caso tipico, il campo prodotto da un conduttore sferico carico.
(Ci sarebbe però da notare che gli argomenti di simmetria di regola
vengono usati molto alla buona, senza che si spieghi davvero come sono
fondati, che cosa vuol dire esattamente "simmetria"...).
Ma il problema generale dell'elettrostatica è ben più complicato.
Una forma del problema si enuncia così:
"Sono dati n conduttori di forma e posizione note. Conoscendo la
carica totale presente su ciascun conduttore, determinare il campo
elettrico nello spazio circostante, e la distribuzione della carica sui
conduttori."
Tu avrai visto solo un accenno qualitativo a quello che succede, per
es. l'induzione elettrostatica.
Potrei continuare ancora per un pezzo; ci sono altri argomenti che
motivano la tesi generale "l'elettrostatica è difficile".
Ma non posso abusare...
Nel caso ti venisse voglia di saperne di più, potresti provare a
leggere
http://www.sagredo.eu/varie/Carpi-2007.pdf
Al solito, è una lezione per insegnanti, ma penso che molte cose le
puoi capire.
> Con la relatività mi sembra di aver saltato i primi argomenti più
> abbordabili e di essere partito subito con quello difficile. Questo
> intendevo con "tosto".
Non so che cosa hai in mente con "argomenti abbordabili".
A mio parere l'approccio tradizionale ha il grave difetto di lasciare
da parte molta fisica e di privilegiare una visione matematica
(covarianza per trasf...).
> Cioè, se ho l'equazione A = BC e una legge di trasformazione T che
> trasforma A -> A', B -> B' e C -> C' e scopro che A' = B'C', allora
> dico che l'equazione A = BC è covariante rispetto alla trasformazione
> T. E' giusto?
Sì, anche se l'esempio mi pare troppo semplice, anche pensando per es.
a F=ma.
Perché li non devi pensare solo a F, m, a, ma anche alle coordinate e
al tempo, che nella scrittura dell'equazione sono nascoste, ma ci
sono...
> Nelle eq. di M. compaiono i campi B ed E, correnti elettriche, cariche
> elettriche, derivate ecc... quindi se voglio stabilire se sono
> covarianti o no devo dire rispetto a quale legge di trasformazione non
> solo per il tempo e lo spazio, ma anche per i campi, le correnti
> ecc...
> Sbaglio?
Non sbagli, anche se non avrei tirato in ballo le derivate: non è che
trasformi separatamente anche quelle.
La trasf. delle derivate discende necessariamente da come trasformi le
coordinate.
> Cioè, qualunque legge di trasformazione che trasforma B -> B' e E ->
> E' io utilizzi, le eq. di M. non restano tutte uguali?
Due precisazioni: intanto non è detto la la trasf. sia
B --> B', E --> E'.
Devi anche tenere aperta la possibilità che le grandezze si mescolino,
quindi scriverei (E,B) --> (E',B').
Secondo: devi precisare "ferma restando, per coordinate e tempo, la
trasf. di Galieo".
Perché se invece ammetti la trasf. di Lorentz, la covarianza ce l'hai.
> Ma sai che forse ho capito?
Ne sono felice :-)
> Qui ammetto di essermi un po' perso.
Volevo solo sottolineare perché il rgionamento di Panareo è sbagliato.
Che sia div'B' =/= 0 (la legge del flusso) non dimostra niente.
Con una diversa legge di trasf. di E e B si riesce ad avere div'B'=0,
sebbene le eq. di Maxwell continuino a non essere covarianti.
Bisogna verificare *tutte* le equazioni e dimostrare che non c'è
*nessuna* legge di trasf. di E,B che riesca a renderle covarianti.
> Sì, questo mi torna. Semplificando molto, Einstein difronte a questa
> contraddizione ha considerato vero il principio di relatività e la
> costanza della velocità della luce nel vuoto (cioè in pratica ha
> considerato corrette le eq. di Maxwell) e quindi è stato costretto a
> modificare il concetto di tempo e di spazio. Giusto?
Va bene, a parte la successione storica.
Le trasf. di Lorentz non le ha inventate Einstein (infatti si chiamano
"di Lorentz").
Qualche anno prima Lorentz si era accorto che si riusciva ad avere
covarianza delle eq. di Maxwell con quella trasformazione, ma non gli
aveva dato peso: per lui esisteva un rif. privilegiato, esisteva
l'etere, e quelle trasf. non le aveva interpretate come le corrette
leggi di trasf. di spazio e tempo da un rif. inerziale a un altro,
fisicamente equivalenti.
Quello che differenzia Einstein da Lorentz è il PR: non c'è un rif.
privilegiato, la contrazione di Lorentz funziona in entrambi i versi,
idem la dilatazione del tempo.
Buon lavoro
--
Elio Fabri
Received on Sun Apr 09 2017 - 12:16:10 CEST