Riprendo il discorso, cominciando con una correzione. Avevo scritto:
> Quando passa allo spazio-tempo (della RR) la prima cosa che fa è
> (42-5) definire le geodetiche (di tipo tempo) come le curve col
> massimo tempo proprio, e dice anche che sono le linee orarie di un
> moto rettilineo uniforme.
Tutto vero, ma sta nella sez. 42-5.
Invece il PE è trattato in 42-6.
Passiamo ora alla sez. 42-7 (quella incriminata).
Qui F. si propone di dimostrare che lo spazio-tempo è curvo, con un
argomento che dovrebbe ricalcare quello - presentato per la sfera - di
un quadrato che non si può chiudere.
Esegue la costruzione della fig. 42-18, vede che il rettangolo non si
chiude, e conclude:
"[...] the pieces don't fit. And that's what we mean when we say that
space-time is curved."
Debbo ora spiegare che la costruzione di F, è platealmente sbagliata
(facile) e poi mostrare come sarebbe la costruzione corretta, che ci
può dire se lo spazio-tempo sia curvo o no (molto più difficile).
Riguardiamo la fig. 42-8. Come è costruito lo pseudo-quadrato? Si
parte dal punto A; si sceglie una direzione qualsiasi, e si traccia
l'arco di cerchio massimo avente quella direzione, per una lunghezza
poniamo di 100 pollici (come in fig. 42-7-a, relativa a un piano
euclideo). Poi si svolta a destra di 90°, si percorrono altri 100
pollici sempre su un cerchio massimo; ancora una svolta a destra,
altri 100 pollici, un'altra svolta (sempre di 90°) e infine il quarto
lato di 100 pollici ... ed ecco la sorpresa: si arriva in un punto B
diverso da A.
F. non lo fa, ma possiamo prenderci la briga di calcolare la distanza
AB. Per meglio dire: io l'ho fatto, e qui riporto il risultato. Tanto
sono sicuro che sai farlo anche da te :-).
Detto r il raggio della sfera, q il lato dello pseudo-quadrato, si ha
AB = 2r*arcsin[4*cos(a)*sin^3(a)]
dove a = q/(2r). (S'intende che AB è misurato *sulla sfera*, non è la
corda.)
Può essere interessante il caso limite q<<r;
AB =~ q^3/r^2.
Nota che mentre saprei giustificare l'espressione k*q*(q/r)^n, (con k
numero puro sconosciuto) non saprei dire perché debba essere k=1, n=2.
A parte il necessario uso della geodetica, c'è un'altra cosa da
osservare nella costruzione.
Lavorando su una sfera immersa nello spazio euclideo è automatico
usare, senza pensarci, la lunghezza degli archi: tutti lunghi 100
pollici o altro valore a piacere.
Ma quando passeremo allo spazio-tempo questo ci darà da pensare...
Dopo aver approfondito tutti i dettagli della costruzione sulla sfera,
posso demolire quella che F. fa nello spazio-tempo. O quanto meno,
mostrare che le due costruzioni non hanno niente in comune e quindi
non si può usare la prima per interpretare la seconda.
Intanto (l'avrai già visto) F. tenta di costruire un rettangolo, non
un quadrato. Su questo torneremo.
Poi (sarei felice se tu avessi visto anche questo) F. *non usa
geodetiche*, sebbene le abbia appena definite: usa invece un sistema
di coordinate (t,z) cosa che non aveva fatto per la sfera, e pretende
che anche la nuova costruzione debba chiudersi se lo spazio-tempo è
piatto.
Ma almeno le curve z=cost *non sono geodetiche*: lo stesso F. lo
dimostra nella sez. 42-8.
In realtà basta applicare il PE per capire che tale aspettativa è
ingiustificata. Se infatti ci mettiamo in una regione di spazio-tempo
lontanissima da masse, dove quindi non ci sono campi gravitaz.
apprezzabili, ci aspettiamo che lì valga la RR e lo spazio-tempo sia
piatto.
In termini fisici, basterà mettersi in un rif. inerziale (un'astronave
a motori spenti) per verificare che le cose stanno così: possiamo
usare la RR, adottando coord. di Minkowski (t,x,y,z) con metrica
ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.
Non c'è dubbio che con queste coord. la costruzione di F. avrebbe
pieno successo.
Mi dirai: ma che c'entra? F. ragiona sulla Terra, dove il campo grav.
c'è!
Ma è appunto qui che gioca il PE, usato per così dire alla rovescia.
Torniamo all'astronave nello spazio lontano, che costituiva il nostro
rif. inerziale.
Chiediamo al comandante di dare ordine di far partire i razzi,
regolati in modo di dare all'astronave un'accel. pari a g.
Che cosa ci dice il PE su questo rif., che ora ha accel. g?
Ci dice che *a tutti gli effetti fisici* quell'astronave sarà
indistinguibile da una ferma sulla Terra, verticale nella rampa di
lancio.
In particolare in entrambi si osserverà la discordanza tra orologi
posti in testa e in coda. Bella scoperta, mi dirai, è proprio così che
E. ha scoperto il redshift gravitazionale!
Giusto, rispondo, ma di questo non bisogna ricordarsi a giorni
alterni, solo quando serve per un scopo, e poi nasconderselo quando
darebbe problemi...
In particolare, lo spazio-tempo dentro e attorno a quell'astronave era
piatto quando aveva i motori spenti, ma non è cambiato avendoli
accesi: non è il fatto che i motori siano accesi e l'astronave
accelerata a decidere se lo spazio-tempo è o no piatto; la sua
curvatura è determinata dalla disribuzione delle masse nell'Universo,
e la massa dell'astronave è minuscola e irrilevante.
Ma che ci aspettiamo se facciamo l'esperimento con gli orologi, e poi
la costruzione di F., stando nell'astronave coi motori accesi? La
risposta ce la dà il PE: succederà quello che capita sulla Terra: gli
orologi scarteranno tra loro, e il rettangolo della figura *non si
chiuderà*.
È così dimostrato che la figura di F. *non dimostra che lo
spazio-tempo sia curvo*.
Mi dirai: va bene, questo l'avevi già detto. ma una figura che sia
l'analoga di quella sulla sfera, capace di rivelare l'esistenza di
curvatura, com si fa?
È qui che comincia il difficile... A domani.
--
Elio Fabri
Received on Sun Jul 16 2023 - 17:42:34 CEST