Riprendo il discorso, e debbo correggere la correzione :-(
Le due righe
> Tutto vero, ma sta nella sez. 42-5.
> Invece il PE è trattato in 42-6.
vanno corrette:
Tutto vero, ma sta nella sez. 42-4.
Invece il PE è trattato in 42-5.
Il mio post precedente terminava:
> Mi dirai: va bene, questo l'avevi già detto. ma una figura che sia
> l'analoga di quella sulla sfera, capace di rivelare l'esistenza di
> curvatura, come si fa?
> È qui che comincia il difficile... A domani.
Vediamo perché dico che comincia il difficile.
Sembrerebbe facile: proviamo a costruire un quadrato nello
spazio-tempo, usando geodetiche, e vediamo che succede.
Il primo problema è che non abbiamo sul tempo lo stesso controllo che
abbiamo sullo spazio; bisogna ricorrere ad artifici poco naturali.
Ma procediamo passo passo.
Cominciamo pensando all'astronave ferma in assenza di gravità.
Anche così, avremmo difficoltà a costruire un quadrato, perché è
difficile capire come si fa a misurare la stessa lunghezza in direzione
tempo come in direzione spazio.
È per questo che F. in realtà prova a costruire un rettangolo, non un
quadrato. E del resto un quadrato non è necessario: sulla sfera
(spazio curvo) non sarebbe possibile costruire neppure un rettangolo,
ossia un quadrilatero con tutti gli angoli retti. Non c'è bisogno
d'imporre condizioni sui lati.
F. (fig. 42-10) parla dell'eccesso sferico per un triangolo, ma il
teorema vale per qualsiasi poligono. Per un n-gono la somma degli
angoli interni in geometria euclidea vale (n-2)*pi; per n=4 si ha
2*pi, che è appunto la somma dei 4 angoli retti di un rettangolo.
Il teorema dell'eccesso sferico dice che in geometria sferica la detta
somma è maggiore, e l'eccesso è area/R^2.
In un generico spazio curvo non vale un teorema così semplice, ma in
generale ci si deve sempre aspettare un eccesso (o un difetto);
quindi un tentativo di rettangOlo con gli angoli retti *non si
chiuderà*.
Tornando invece all'astronave ferma in assenza di gravità, la
costruzione ha successo: intanto tutte le rette sono geodetiche, poi
le rette t=cost e quelle z=cost sono tra loro perpendicolari (non è
banale, ma sorvolo) quindi una costruzione come quella della fig.
42-18 si può fare. Anche senza misurare i lati, il rettangolo si
chiude con C=C'.
Per di più si ha anche AB=CD (la differenza delle z è la stessa per
costruzione) e AC=BD (gli orologi in A e in B possono essere
sincronizzati e il sincronismo si mantiene: nessun ritardo né
anticipo).
Su quest'ultimo punto conviene fermarsi: che non ci sia problema con
gli orologi è in realtà un prerequisito per poter disegnare la figura,
coi suoi bravi assi cartesiani t e z.
Infatti questo si può fare proprio perché in RR in un rif. inerziale
si può definire una coordinata tempo in tutto lo spazio-tempo.
Non si tratta di una coord. arbitraria, ma proprio del tempo segnato
dagli (infiniti) orologi sincronizzati che possiamo disporre nel rif.
Forse riterrai inutilmente pignolesca e prolissa tutta questa
trattazione di un caso facile e familiare a chi conosce la RR.
Ma non lo è, perché è proprio la scarsa attenzione a tutti i punti
critici che poi crea problemi, equivoci, veri e propri errori (F.
insegna) quando si esce dal terreno tutto sommato tranquillo della RR.
Possiamo vedere la questione da un altro punto di vista. Lo
spazio-tempo della RG è riemanniano (o meglio pseudo-riemanniano). Il
che vuol dire prima di tutto che è possibile definire 4 coordinate per
rappresentare tutti i punti dello spazio-tempo.
L'unico requisito che si pone alle coordinate è che rappresentino lo
spazo-tempo in modo *biunivoco e continuo* (in realtà differenziabile
e magari C^inf, ma non occorre ora preoccuparsene).
Per quanto possa sembrare strano, all'inizio fu proprio questa estrema
libertà a porre problemi a Einstein, che cercava sempre di dare
un'interpretazione fisica alle coordinate, o almeno di restringerne la
scelta con qualche proprietà addizionale.
Possiamo largamente giustificare E, che era il primo a imbattersi in
un situazione del tutto nuova nel rapporto tra matematica e fisica:
che non esistesse un'unica struttura matematica capace di descrivere
correttamente i fatti. Che quindi la corrispondenza tra dati
dell'esperienza ed elementi della teoria potesse essere più complicata
di come si era abituati fino allora.
(Sono meno giustificati coloro - insegnanti, autori di testi) che
ancor oggi non hanno capito questa lezione. E ce ne sono...)
L'esempio del tempo è emblematico: nella fisica newtoniana t è il
tempo, ogni evento ha una coord. t ben definita.
Già in RR questo legame si allenta: bisogna dire *fissato un rif.
inerziale* ogni evento ha un tempo ben definito, ecc.
In RG semplicemente *un tempo non c'è*, e non è affare di riferimenti.
Sta largamente al teorico decidere quale sistema di coord. adottare, e
non è neppure detto a priori che una delle coordinate abbia
direttamente a che fare col tempo.
Resta il fatto che esistono gli orologi: ognuno di questi ha una sua
curva oraria, parametrizzata col tempo dell'orologio (tempo proprio).
Ma questo tempo di regola *non è una coordinata*.
Tutto ciò pone un grosso problema didattico: come si fa a presentare
in modo comprensibile queste idee, che sembrano richiedere una poderosa
capacità di astrazione?
Mi sembra che una via possibile sia di pssare attraverso le carte
geografiche. Queste forniscono un punto d'appoggio concreto per
costruire le idee portanti della RG.
La prima è proprio questa: un diagramma spazio-tempo non è che una
*carta* di una porzione dello spazio-tempo (più esattamente, di una
sua sezione, con una sola dimensione spaziale.)
Ma ci sono tanti modi di fare una carta; per la Terra si parla di
"proiezioni". Ogni proiezione ha le sue proprietà, più o meno
vantaggiose a seconda dello scopo per cui si fa la carta.
Lo stesso vale per le carte dello spazio-tempo, con una difficoltà
addizionale che ora esaminiamo.
La superficie della Terra e una sua carta geografica sono già in una
realazione complicata, che si descrive facilmente anche se la
risoluzione pratica presenta aspetti variati che bisogna imparare per
poter "leggere" la carta.
Cerco di non farla lunga, ma insomma...
La superficie della Terra in realtà non è neppure una superficie:
fisicamente è qualcosa di assai più complicato, con picchi, guglie,
cavità, grotte, pareti verticali ... e anche massi, sassi, alberi,
case...
Di tutto ciò nelle carte ci si dimentica o se ne dà una
rappresentazione simbolica: si esegue uno "smoothing" fino a ottenere
una superficie matematicamente trattabile, e si rappresenta quella;
colorando poi la carta, tracciando marcature varie che cercano di
ricordare tutto ciò che è stato ignorato nella rappresentazione.
Ma fatto questo, la superficie "lisciata" della Terra e il foglio
della carta sono entrambe superficie riemanniane con le loro
coordinate di cui ho già detto e con in più un altro elemento
strutturale caratteristico delle varietà riemanniane: detto alla
buona, una *distanza* definita *sulla* superficie.
Questa è un numero reale positivo che viene associato a ogni coppia di
punti sulla superficie. (Evito di dare le precisazioni matematiche che
sarebbero necessarie in generale, ma che possiamo trascurare per i
nostri scopi.)
Il rapporto tra la distanza reale e quella dei corrisp. punti sulla
carta è la "scala" della carta. Con l'importante avvertenza che in una
data carta questo rapporto in realtà non è costante; quando si dà la
scla di una carta di deve sempre intendere come una media.
Su una carta della Terra la scala non è *mai* costante: non è
possibile una carta che rappresenti una porzione della Terra senza
falsare poco o tanto le distanze.
In tema di distanze per lo spazio-tempo appare una differenza che non
possiamo trascurare, e che si nasconde dietro quello "pseudo-" che ho
prefisso quando ho definito la matematica dello spazio-tempo.
Per lo spazio-tempo resta vero che a ogni coppia di punti si associa
un numero d, che però non si può semplicemente intendere come distanza
e può anche essere nullo o negativo.
Basta conoscere la RR per capire di che cosa sto parlando: la
relazione tra due punti (eventi) può essere di tre tipi:
- tipo tempo: d>0, si prende come distanza sqrt(d)
- tipo spazio: d<0, distanza = sqrt(-d)
- tipo luce: d=0.
E qui facciamo pausa...
--
Elio Fabri
Received on Tue Jul 18 2023 - 11:48:40 CEST