Re: Domanda sulla Relatività Ristretta

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Wed, 19 Jul 2023 23:46:14 +0200

Il 19/07/2023 10:32, Dino Bruniera ha scritto:

> Mi puoi spiegare perché la sincronizzazione per trasporto deriverebbe da quella tramite fascio luminoso (che se ho ben capito dovrebbe essere quella standard di Einstein), facendo uso del secondo postulato?

Intanto una premessa. La sincronizzazione standard non si chiama così
perché è quella che ha adottato Einstein nel 1905. E nemmeno perché è
stata definita per mezzo di segnali luminosi.
Si può sincronizzare secondo relazione non standard mediante segnale
luminoso e si può sincronizzare secondo relazione standard mediante
trasporto uniforme di orologio.

L'orologio OA sia fisso nel punto A del riferimento inerziale K;
l'orologio OB sia fisso nel punto B del riferimento inerziale K;
sia d la distanza fra A e B.
Vogliamo sincronizzare OB con OA

-------
a) Sincronizzazione standard mediante segnale luminoso.
a1) si registra l'istante t_in segnato dall'orologio OA nel momento in
cui da A spediamo verso B il segnale luminoso S_sinc;
a2) quando S_sinc arriva in B si pone OB all'istante t_in+d/c.

-------
b) Sincronizzazione standard mediante trasporto uniforme di orologio.
b1) si registra l'istante t_in segnato dall'orologio OA nel momento in
cui da A spediamo verso B un orologio OV (orologio viaggiatore) in moto
uniforme;
b2) quando OV arriva in B notiamo che OV ha misurato l'intervallo di
tempo dTau da quando è partito da A a quando è arrivato in B. All'arrivo
di OB decidiamo di porre OB all'istante t_in+Sqrt[dTau^2+(d/c)^2].

Entrambe le procedure, sia la a) che la b), potrebbero essere seguite
per sincronizzare in maniera detta non standard. Una sincronizzazione
non standard è associata a una generica funzione F(P), dove P è un
qualsiasi punto di K.
Se volessimo sincronizzare secondo la a) nella maniera non standard
associata alla funzione F(P) in a2) dovremmo sostituire
t_in+d/c+F(B)-F(A) al posto di t_in+d/c;
Se volessimo sincronizzare secondo la b) nella maniera non standard
associata alla funzione F(P) in b2) dovremmo sostituire
t_in+Sqrt[dTau^2+(d/c)^2]+F(B)-F(A) al posto di t_in+Sqrt[dTau^2+(d/c)^2].

Di passaggio notiamo che risulta banalmente vero quanto detto da Elio
Fabri recentemente, per quanto lui lo affermasse con "cautela", diceva
"per quanto ne so" e "non ho mai visto ..." (cioè, magari chi
eventualmente mostrerà di saperne più di me potrà far vedere ciò che non
ho finora visto, allora mi ricrederò); io beh, lo affermo certo sempre
"per quanto ne so", ma lo dico con molta meno cautela (banalmente vero)
anche se la sua affermazione non la porrei nei suoi termini per motivi
che ho già detto e che non è il caso di ripetere qua.
L'affermazione di Elio è (vado a memoria):
"tutte le sincronizzazioni non standard si basano su quella standard".
Per forza, quelle non standard sono quella standard con alla fine la
somma di F(B)-F(A) (con F(P) funzione qualsiasi).
Eustachio Manfredi aveva contestato l'affermazione di Elio, però poi non
ha giustificato la sua contestazione (io sostengo che non sia
giustificabile).

Passiamo finalmente alla dimostrazione dell'equivalenza fra le due
sincronizzazioni, la a) e la b). Con ciò intendo che *assunti i
postulati della relatività ristretta, in particolare il secondo
postulato, dalla a) segue la b) e viceversa.
Mostriamo solo che dalla a) segue la b) (tanto la dimostrazione b)->a) è
analoga) e mostriamolo nel caso standard (tanto la dimostrazione non
standard si può ottenere facilmente dalla dimostrazione nel caso standard).

Dimostrazione.
Eseguiamo la a) però, quando OA segna t_in, oltre a far partire da A
S_sinc, lanciamo simultaneamente anche l'orologio Ov che, seguendo un
moto uniforme, arriverà in B dopo aver misurato un certo intervallo di
tempo. In B naturalmente S_sinc arriva prima di OV, questo significa che
OB misurerà un certo intervallo di tempo dall'arrivo in B di S_sinc
all'arrivo in B di OV. Poniamo che sia T tale intervallo di tempo.
All'arrivo di OV in B si avrà quindi che OB (settato all'istante
t_in+d/c quando in B era arrivato S_sinc) segnerà l'istante
(*) t_in+d/c+T.
Possiamo ipotizzare che OB sia un orologio a luce costituito da un
regolo lungo cT/2 e che il fascio di luce F_B che si riflette ai suoi
estremi percorra una sola volta in andata e ritorno il regolo da quando
in B arriva S_sinc a quando arriva OV.
Abbiamo quindi che, dalla partenza di OV nel punto A al suo arrivo nel
punto B si ha:
S_sinc che percorre un tragitto lungo d, subito seguito da F_B che
percorre, in andata e ritorno, un tragitto lungo c*T.
Cioè un segnale luminoso percorre un tragitto lungo
(*1) d+c*T
dalla partenza di OV da A al suo arrivo in B.

Immaginiamo ora che anche OV sia un orologio a luce. Nello specifico
immaginiamo che sia costituito da un regolo disposto perpendicolamente
al segmento AB (se OV fosse un qualsiasi altro orologio, siccome tutti
gli orologi sono sincroni fra loro, allora OV sarebbe certamente
sincrono a un orologio a luce costituito da un regolo disposto
perpendicolarmente al segmento AB). Ipotizziamo che il regolo di cui è
composto OV abbia la lunghezza giusta, L, che, mentre OV va da A a B, il
fascio di luce percorra OV una sola volta in andata e ritorno (cioè OV,
nel suo riferimento di quiete, sia un regolo lungo L con la luce che si
riflette ai suoi capi e, ogni volta che il fascio completa un viaggio di
andata e ritorno, OV incrementa di 2L/c l'intervallo di tempo che ha
misurato e, siccome tale fascio si riflette una sola volta in andata e
ritorno mentre OV va da A a B, possiamo dire che OV misura l'intervallo
ditempo
(*2) dTau=2L/c
mentre si sposta da A a B). Abbiamo quindi che il fascio di luce che si
riflette ai capi di OV, nel riferimento K, percorrerà un tratto di
andata da A a un certo punto P che dovrà essere sull'asse di AB (questo
si può dimostrare ma tralasciamo) e un tratto di ritorno che va da P a
B. Insomma, il triangolo ABP è isoscele e il fascio di luce che si
riflette per una volta ai capi di OV percorre in K i due lati obliqui
del triangolo di base AB=d. Non solo, siccome un corpo che si muove
lungo un certa direzione lascia inalterate le sue dimensioni
perpendicolari al moto (questo secondo me è un postulato - di contenuto
fisico!- essenziale per la relatività, Poincaré nel suo lavoro del 1905
lo introduce come postulato, per quanto in altra forma però equivalente
una volta assunta l'invarianza delle equazioni di Maxwell, Einstein lo
deriverebbe dal principio di relatività, secondo me è impropria la
posizione di Einstein, ma certo dipende da come si introduce il
principio di relatività, ad ogni modo, sorvoliamo su tale punto) siccome
il regolo è alto L (nel suo riferimento di quiete) allora il triangolo
isoscele ABP, di base AB=d, ha l'altezza relativa alla base AB lunga L.
Da ciò segue (teorema di Pitagora) che la lunghezza dei due lati obliqui
vale:
AP+PB=Sqrt[(2 L)^2+d^2].
Siccome, come visto sopra, vedi (*2), dTau=2 L/c, possiamo dire che il
fascio che si riflette ai capi di OV percorre un tragitto lungo
(*3) AP+PB=Sqrt[(c dTau)^2+d^2]
durante il suo viaggio da A a B.
Ora in K abbiamo due fasci luminosi che partono simultaneamente da A e
arrivano simultaneamente in B.
Un fascio è dato dalla serie S_sinc seguito dal fascio F_B che si
riflette per una volta ai capi di OB, che abbiamo visto percorrere un
tragitto lungo d+c*T (vedi (*1)),
l'altro è il fascio che si riflette ai capi di OV che percorre un
tragitto di lunghezza Sqrt[(c dTau)^2+d^2], vedi (*3), dato dalla somma
delle lunghezze dei due lati obliqui.
*Per il secondo postulato* abbiamo
d+c*T=Sqrt[(c dTau)^2+d^2]
relazione che può essere messa nella forma
(**) dTau=Sqrt[T^2+ 2 (d/c) T].

Riassumiamo quanto visto finora
1) abbiamo sincronizzato tramite fascio luminoso OB il quale, dopo
essere stato sincronizzato, segnerà l'istante (vedi la (*))
(***) t_in+d/c+T
nel momento in cui in B arriva OV.
In quel momento saremmo inguaiati se OV pretendesse di risincronizzare
OB sostenendo che la "giusta" sincronizzazione è quella tramite
trasporto uniforme di orologio che imporrebbe di settare OB all'istante
(****) t_in+Sqrt[dTau^2+(d/c)^2]
nel momento in cui OV arriva in B.
A meno che la (****) non coincida con la (***), cioè a meno che
un'eventuale risincronizzazione tramite trasporto di orologio non
cambiasse alcunché.
E questo è esattamente ciò che avviene. Il *secondo postulato* ci
assicura che vale la (**) la quale, sostituita nella (****) dà
esattamente la (***).

Abbiamo sincronizzato OB tramite fascio luminoso e il secondo postulato
ci ha assicurato ritroveremo OB sincronizzato correttamente anche
secondo la procedura di trasporto uniforme.

In maniera analoga si potrebbe dimostrare che sincronizzando OB tramite
trasporto uniforme, il secondo postulato ci assicurerebbe che
ritroveremo OB sincronizzato correttamente anche secondo la procedura
che usa il fascio luminoso.

Cioè il secondo postulato ci permette di dire che le due procedure di
sincronizzazione viste sopra sono equivalenti.

-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (Anonimo, attribuito a G. 
Apollinaire)
-- 
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