Re: Spazio-tempo

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Fri, 21 Jul 2023 14:54:07 +0200

Ho dovuto fare una pausa di tre giorni perché non ero soddisfatto
della strada che avevo preso. Prego quindi di sopprimere l'ultimo
capoverso, che inizia "In tema di distanze".
Ho deciso che non posso semplificare troppo il capitolo che stavo
affrontando: debbo chiarire che cos'è una metrica in una varietà
riemanniana, e poi mostrare la differenza nel caso prsudo-riemanniano
(come è lo spazio-tempo).

Restiamo pure all'esempio della superficie della Terra, per la quale è
in uso praticamente universale un unico sistema di coordinate,
longitudine e latitudine. Con una variante: spec. in ambito fisico è
più comune usare la "colatitudine", che va da 0 al polo nord a 90°
all'equatore e 180° al polo sud. Anche i simboli differiscono: in
fisica si usa theta per la colatitudine e phi per la longitudine. Così
farò qui, abbreviando theta in th e phi in ph.

In una carta geografica, come ho già detto, si possono trovare le più
diverse proiezioni, ma in tutte sono sempre indicate le curve th=cost
(paralleli) e quelle ph=cost (meridiani). La proiezione più semplice,
(che non so come si chiama, è quella in cui meridiani e paralleli sono
rette ortogonali equidistanti. Un esempio è la fig. 9-6 del Q16.

Una superficie matematica come la sfera, che idealizza quella della
Terra, è detta riemanniana; il che vuol dire - come già sappiamo - che
ammette coordinate, ma non solo: sulla Terra reale si possono misurare
*distanze*, e lo stesso si puo fare sulla sfera. E importante chiarire
la relazione tra distanza e coordinate, che si riassume nel concetto
di *metrica*.

Prendiamo due punti sullo stesso meridiano: è ovvio che se th1, th2
sono le loro colatitudini, la distanza è R*|th1-th2|.
Molto meno ovvio dare la distanza per due punti sullo stesso
parallelo.
Facile fare un ragionamento sbagliato: un parallelo è una circonf, di
raggio R*sin(th), quindi la distanza richiesta è

R*sin(th)*|ph1-ph2|. (1)

Dov'è l'errore?
L'espressione data misura la lunghezza dell'arco di parallelo tra i
due punti, ma questa non è la distanza che cerchiamo, perché *i
paralleli non sono geodetiche* (con l'eccezione dell'equatore).
Infatti le geodetiche della sfera sono le circonf. massime, e i
paralleli non lo sono.
Non darò la formula esatta della distanza, che non ci serve. Osservo
invece che la (1) è *approssimata*, con appross. tanto migliore quanto
più i punti sono vicini.
Si può essere più precisi scrivendo la (1) in forma differenziale:

R*sin(th)*dph (2)

dove nel linguaggio impreciso dei fisici si usa dire che questa è la
distanza per punti "a distanza infinitesima".
Facciamo pure così, anzi facciamo lo stesso per i meridiani, dove non
ce ne sarebbe bisogno:

R*dth (3).

Le (2) e (3) risolvono il prolema della distanza in termini delle
coordinate, ma solo per due casi particolari.
E se abbiamo due punti che differiscono in entrambe le coordinate?
La risposta è semplice: visto che meridiani e paralleli sulla sfera
sono tra loro ortogonali, c'è solo da applicare il teorema di
Pitagora:

ds^2 = R^2*dth^2 + R^2*sin^2(th)*dph^2. (4)

Questa si chiama la *metrica* della sfera in coord. sferiche. Ma se
usassimo altre coordinate, o se avessimo a che fare con una superficie
diversa (un cono, un ellissoide, un toro.. )? Dette (u,v) le
coordinate sulla superficie, la risposta, che generalizza la matrica a
una qualsiasi superficie riemanniana, si scrive

ds^2 = A(u,v) du^2 + 2 B(u,v) du dv + C(u,v) dv^2 (5)

che è l'espressione di una *forma quadratica* nei differenziali delle
coordinate. Le tre funzioni A, B, C si chiamano "coefficienti della
metrica" (o anche "componenti del tensore metrico", ma non spiego
perché).

Occorre ancora una specificazione: l'espressione a secondo membro
nella (4) deve sempre avere valore positivo, qualunque cosa siano u,
v, du, dv. Questo perché si tratta del *quadrato* ds^2 di una
distanza, che è un numero reale.
Si dice che la forma quadratica (5) deve essere "definita positiva".

Ancora un chiarimento: che ci sta a fare il secondo termine in du dv?
Nella metrica della sfera non c'era...
Risposta: non c'era perché le coord, (th,ph) sono *ortogonali*
(abbiamo usato il teoerema di Pitagora).
Ma può capitare di dover usare coord. non ortogonali, e allora
(teorema di Carnot) compare il prodotto dei lati, quindi quel secondo
termine.

Concludo questa puntata spiegando come la conoscenza della metrica
permetta di calcolare la lunghezza di qualsiasi curva.

Una curva sulla data superficie si può descrivere con le sue *equazioni
parametriche:

u = u(q), v = v(q)

dove q è appunto il *parametro*.
Allora si può calcolare la lunghezza dell'arco infinitesimo:

ds^2 = [A(u,v) (du/dq)^2 + 2 B(u,v) (du/dq)(dv/dq) +
           C(u,v) (dv/dq)^2] dq^2

dove tutte le grandezze a secondo membro sono funzioni di q.
Si può quindi calcolare la lunghezza dell'arco di curva tra q=a e q=b
con un integrale definito:

s(a,b) = int[sqrt{A(u,v) (du/dq)^2 + 2 B(u,v) (du/dq)(dv/dq) +
            C(u,v) (dv/dq)^2},q,a,b]. (6)

Chiudo con alcuni commenti.
1. Le definizioni di metrica e di lunghezza non dipendono dal fatto
che la superficie sia intesa come sottovarietà dell'ordinario spazio
euclideo 3D.
2. Anzi si possono generalizzare (Riemann) a varietà di dimensione n
qualsiasi, dove saranno definite non due ma n coordinate.
3. Si può usare la definizione (6) di lunghezza per definire la
geodetica tra due punti come la curva di lunghezza minima.

E per oggi basta.
-- 
Elio Fabri
Received on Fri Jul 21 2023 - 14:54:07 CEST

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