Re: Spazio-tempo

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sat, 5 Aug 2023 11:45:09 +0200

Ho scritto nella scorsa puntata:
> Ponendo la (2) nella (1) abbiamo la metrica del nostro spazio-tempo:
>
> ds^2 = (1 + g*v/c^2)^2 du^2 - dv^2. (3)
>
> Ora abbiamo davvero tutto l'armamentario che ci occorre per capire
> che cosa avrebbe dovuto fare Feynman...
Nota: il numero alla formula della metrica l'ho aggiunto ora, perché mi
serve.
Molto più importante: ho aggiunto un quadrato, che ci voleva, se
riprendete il ragionamento della volta scorsa.
Aggiungo che la (3) è una leggera variante di una metrica
conosciutissima come "metrica di Rindler" o (impopriamente)
"spazio-tempo di Rindler".
Ci sarebbero molte cose interessanti da dire su questa metrica, ma
debbo andare al sodo...

Che cosa avrebbe dovuto fare Feynman per dimostrare (si fa per dire)
che lo spazio-tempo vicino alla Terra è curvo?
Avrebbe dovuto tentare di costruire un quadrato, come aveva tentato
sulla superficie di una sfera, per arrivare a concludere che ciò è
impossibile.
Questa sarebbe stata davvero una prova della curvatura; ma abbiamo già
visto che non è quello che F. fa, e non voglio ripetermi.
Ho anche già osservato che c'è un problema a parlare di quadrato nel
nostro spazio-tempo, che ha una dimensione di tipo spazio e una di
tipo tempo: come si fa a confrontare segmenti in direzione u e in
direzione v? Una via d'uscita ci sarebbe, ma non è necessaria, perché
non è necessario pensare a un quadrato: basta un rettangolo, ossia un
qudrilatero con gli angoli retti.

"Angoli retti?" direte voi: "quando mai si è parlato di angoli? La
metrica ci dice come misurare lunghezze, non angoli".
In realtà non è così: se conosco i lati di un triangolo (infinitesimo,
quindi euclideo) conosco anche gli angoli (teorema di Carnot).
Ma poi a noi bastano angoli retti, e per questo basta verificare che
due spostamenti (infinitesimi) siano ortogonali, ossia con prodotto
scalare nullo.
Basta quindi sapere che la metrica non dà solo distanze, ma anche
prodotti scalari: si fa così.
Siano gamma1, gamma2 due curve che passano per uno stesso punto.
Siano (du1,dv1) e (du2,dv2) due "vettori infinitesimi lungo le due
curve" (vettori tangenti).
Se la metrica è

ds^2 = g_11 du^2 + 2 g_12 du dv + g_22 dv^2

il prodotto scalare è

g_11 du1 du2 + g_12 (du1 dv2 + du2 dv1) + g_22 du2 dv2.

In particolare se la metrica è diagonale manca il termine in g_12 e i
due vettori sono ortogonali se

g_11 du1 du2 + g_22 du2 dv2 = 0.

Con la metrica (3)

(1 + g*v/c^2)^2 du1 du2 - dv1 dv2 = 0.

C'è solo da aggiungere che i lati del rettangolo debbono essere
geodetiche, quindi per fare la verifica bisogna conoscere le
geodetiche.
Nel caso della metrica (3) si trovano facilmente, ma possiamo anche
risparmiarci la fatica con un altro espediente: un cambiamento di
coordinate.

Facciamoci ispirare dalla fisica. Sappiamo che nella metrica (3) la
cordinata u è il tempo, la v lo spazio.
Però mentre v misura esattamente la distanza tra due punti aventi la
stessa u, perché il coeff. di dv^2 è -1, lo stesso non è vero per u.
Intanto c'è una ragione dimensionale: u ha le dim. di una lunghezza,
quindi il tempo sarebbe se mai u/c.
Ma poi c'è il redshift: abbiamo già visto che

dtau(v) = A(v) du/c = (1 + g*v/c^2) du/c

quindi il fattore di proporz. tra tau e u non è costante, ma dipende
da v.

Questi però sono dettagli: il punto importante è che (u,v) sono coord.
adatte a un rif. accelerato, non a un rif. inerziale (lontano dalla
Terra); quelle che voglio chiamare (t,z).
Qui debbo saltare un po' del ragionamento e dare direttamente la
trasf. di coord.:

t = (c/g) (1 + gv/c^2) sinh(gu/c^2)
z = (c^2/g) (1 + gv/c^2) cosh(gu/c^2).

Potete verificare (esercizio) che in queste coord. la metrica (3)
diventa

ds^2 = c2 dt^2 - dz^2. (4)

Scoperto questo, non resta più niente da fare.
La (4) è la metrica di Minkowski di uno spazio-tempo piatto, il che
prova un sacco di cose:
- che siamo in RR (spazio-tempo piatto)
- che la (4) è proprio la metrica di un rif. inerziale
- che in queste coord. le gedetiche sono rette
- che in particolare sono geodetiche le rette t = cost. e z = cost.

Infine il risultato voluto: un rettangolo fatto cone quelle geodetiche
*si chiude*, il che dimostra "alla Feynman" che lo spazio-tempo è
piatto, contro ciò che lui credeva :-)

Avrei finito, ma non posso non sciogliere un dubbio: ma lo
spazio-tempo attorno alla Terra non è curvo?
Risposta: certo, ma il fatto è che la metrica (3) è solo approssimata:
la metrica giusta [...] è quella di Schwarzschild.
Quello che qui premeva era dimostrare che l'esistenza del redshift da
sola non prova che lo spazio-tempo sia curvo: infatti basta mettersi in
un'astronave accelerata per vedere un disaccordo tra i due orologi a
poppa e a prua, sebbene lo spazio-tempo rianga piatto.

Voglio ripeterlo fino alla noia: l'essere lo spazio-tempo curvo o
piatto è proprietà *intrinseca*, che non viene cambiata cambiando
coordinate né cambiando rif. (da inerziale ad accelerato).
Cambia invece la presenza o meno di un campo grav.

In termini matematici: la curvatura è espressa dal tensore di Riemann,
che essendo un tensore, se è nullo in un qualche sistema di coordinate
è nullo in tutte.
Invece il campo grav. ha come corrispettivo matematico i coeff. di
connessione, che non formano un tensore, e quindi possono annullarsi
in un SC e non in un altro.

Naturalmente in tutto questo non c'è niente di nuovo e lo si trova in
qualsiasi libro.
Lo trovate anche nelle mie lezioni, per es. in

http://www.sagredo.eu/lezioni/irg

In particolare il cap. 4 tratta diffusamente della metrica di Rindler
e del rif. accelerato. Ci trovate anche diversi fatti che qui ho
dovuto tagliare.
Mi permetto di consigliarne la lettura, anche perché il livello
matematico è ancora modesto (niente tensori, derivate covarianti e
compagnia bella) ma la fisica (mi permetto di dire) è profonda.
-- 
Elio Fabri
Received on Sat Aug 05 2023 - 11:45:09 CEST

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