Re: L(q, q', t), H(q, p, t)

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it>
Date: Mon, 7 Aug 2023 08:40:54 +0200

Il 07/08/23 06:18, Elio Fabri ha scritto:
> Alberto Rasà ha scritto:
> > Sia: L(q, q', t) = q' * e^q.
> > H(q, p, t) è:
> > a) = 0
> > b) > 0
> > c) < 0
> > d) non definita
> > e) oo.
> Immagino che vorresti la risposta :-(
> Ma qualunque libro di meccanica analitica te la dà...
> Comunque:
>
> p è definito da
>
> p = _at_L/_at_q'  (1)
>
> H è definita da
>
> H = pq' - L
>
> con var. indipendenti q,p.
> Ocorre quindi risolvere la (1) rispetto a q'.
> Con la data L la (1) è:
>
> p = e^q
>
> che non contiene q', quindi la risposta è d): quella lagrangiana non
> ammette hamiltoniana.


La maggior parte dei libri si ferma a questo punto. Però la storia è un
po' più articolata (as usual :-) .

Quella lagrangiana ha dei problemi ma quello della non risolvibilità
della (1) rispetto a q' (ovvero la non convessità di L rispetto a q') è
un problema noto (Lagrangiane singolari), affrontato e risolto da Dirac
col metodo dei vincoli che forse conosci. Ma questo è argomento quasi
sempre assente nei libri di meccanica analitica.

L'idea di fondo del metodo di Dirac è di
1. definire i momenti coniugati al solito modo; Nel caso di L.
singolari, questo dà luogo ad una relazione tra q e p che viene letta
come *vincolo*.
2. definire una hamiltoniana H' al solito modo in termini di q,p,q'. In
1. e 2 non si cerca di fare nessuna inversione rispetto a q'.
3. introdurre una hamiltoniana vincolata H = H' + moltiplicatore di
Lagrange * vincolo ottenuto in 1. Il moltiplicatore di Lagrange deve
aver parentesi di Poisson nulla con q e p.
4. derivare rispetto al tempo l'equazione del vincolo per eliminare il
moltiplicatore di Lagrange da H.

In tal modo dalle eq.uazioni di hamolton per H si riottengono i moti
descritti dalle eq. del moto relative alla Lagrangiana originale.

Il caso di Alberto mi sembra che abbia però un problema aggiuntivo
legato al fatto che H' è identicamente nulla. Ma forse mi sono un po'
arruginito sull'argomento. Ci devo pensare.

Comunque la risposta che io darei alla domanda originale è: d) se si
intende la procedura standard per passare da lagrangiana a hamiltoniana.

Giorgio
Received on Mon Aug 07 2023 - 08:40:54 CEST