Ringrazio tutti per le risposte.
Replico dal post di Fabri soltanto per far prima.
Il giorno lunedì 7 agosto 2023 alle 07:50:05 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:
> Alberto Rasà ha scritto:
> > Sia: L(q, q', t) = q' * e^q.
> > H(q, p, t) è:
> > a) = 0
> > b) > 0
> > c) < 0
> > d) non definita
> > e) oo.
>
> Immagino che vorresti la risposta :-(
>
Non ho messo l'indicazione che era una domanda, hai ragione.
>
> Ma qualunque libro di meccanica analitica te la dà...
>
Sul "qualunque" ho qualche dubbio, e comunque ho sicuramente dei dubbi sul "come" te la da.
>
> Comunque:
> p è definito da
> p = _at_L/_at_q' (1)
> H è definita da
> H = pq' - L
> con var. indipendenti q, p.
> Occorre quindi risolvere la (1) rispetto a q'.
> Con la data L la (1) è:
> p = e^q
> che non contiene q', quindi la risposta è d): quella lagrangiana non
> ammette hamiltoniana.
>
Grazie.
Credo che in un caso monodimensionale come questo la tua sia la risposta più semplice. Nel caso pluridimensionale qualcuno dice di vedere se è diverso da 0 lo jacobiano della trasformazione di coordinate da q1,... qn, q1',... qn' a Q1,... Qn, p1,... pn con Q1=q1,... Qn=qn, cosa che già mi tornerebbe di più; qualcun altro dice di vedere se è diverso da 0 lo jacobiano ("della trasformazione di Legendre"):
|_at_^2L/_at_qi'_at_qj'|,
il che lo capisco molto meno.
JTS ha scritto:
<<... per far sì che la trasformata di Legendre sia invertibile sia necessario che la funzione da trasformare sia convessa.>>
Puoi espandere un pochino? Qual è la funzione da trasformare e come la scriveresti la richiesta di convessità qui?
Abraham Simpsons ha scritto:
<< Zero. L non e' una funzione convessa, >>
Cioè? Come la scrivi qui la condizione di convessità?
<< la trasformata di Legendre e' nulla.
Cio' e' vero per un ogetto tipo q'*f*(q).>>
Certo.
<< Diverso se avesse un termine cinetico, del tipo q'^2*f(q), con f(q) opportuna (quale? Esercizio).>>
Non lo so perché per f(q) non nulla mi verrebbe da dire che H(q, p) è comunque non nulla:
p = 2q'*f(q)
H = pq' - L = 2q'^2*f(q) - q'^2*f(q) = q'^2*f(q).
<< Avresti p = dL/dq' = 2q'*f(q), H = sup_q'( pq'-L )= L.>>
Questa definizione con il sup_q' non la sapevo. Ma di preciso che significa? q' è una funzione.
Giorgio Bibbiani ha scritto:
<< Più che altro io mi chiedo quale possa essere un sistema dinamico
la cui lagrangiana sia identicamente nulla (a meno di una
derivata totale rispetto al tempo di una funzione della posizione).>>
Intendevi l'hamiltoniana naturalmente. Quale possa essere il sistema dinamico non lo so nemmeno io ma credo che quello che ho posto sia un problema essenzialmente matematico.
Giorgio Pastore ha scritto:
<<... >>
Scusa ma mi sa che sono arrugginito anch'io: la tua risposta non la decifro (capisco che dovrei approfondire il problema).
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Wakinian Tanka
Received on Mon Aug 07 2023 - 11:09:11 CEST