Re: L(q, q', t), H(q, p, t)

From: Abraham Simpson <abraham.simpson1_at_gmail.com>
Date: Mon, 7 Aug 2023 04:15:24 -0700 (PDT)

On Monday, August 7, 2023 at 12:20:05 PM UTC+2, Alberto Rasà wrote:
> Ringrazio tutti per le risposte.
> Replico dal post di Fabri soltanto per far prima.
> Il giorno lunedì 7 agosto 2023 alle 07:50:05 UTC+2 Elio Fabri ha scritto:
> > Alberto Rasà ha scritto:
> > > Sia: L(q, q', t) = q' * e^q.
> > > H(q, p, t) è:
> > > a) = 0
> > > b) > 0
> > > c) < 0
> > > d) non definita

> Abraham Simpsons ha scritto:
> << Zero. L non e' una funzione convessa, >>
> Cioè? Come la scrivi qui la condizione di convessità?
Le variabili q, q' le consideri indipendenti. Convessa in q'. Ad esempio il termine cinetico
T= 1/2 q'^2. La parabola e' convessa.
> << la trasformata di Legendre e' nulla.
> Cio' e' vero per un ogetto tipo q'*f*(q).>>
> Certo.
> << Diverso se avesse un termine cinetico, del tipo q'^2*f(q), con f(q) opportuna (quale? Esercizio).>>
> Non lo so perché per f(q) non nulla mi verrebbe da dire che H(q, p) è comunque non nulla:
> p = 2q'*f(q)
> H = pq' - L = 2q'^2*f(q) - q'^2*f(q) = q'^2*f(q).
Te l'avevo gia' scritto. Ma non vale per ongi f(q). Se f(q) = -1 la funzione non e' convessa, T non e' definita positiva.
> << Avresti p = dL/dq' = 2q'*f(q), H = sup_q'( pq'-L )= L.>>
> Questa definizione con il sup_q' non la sapevo. Ma di preciso che significa? q' è una funzione.
No, e' una variabile, vedi sopra. Stiamo facendo analisi funzionale.
Questa e' l'unica definizione della trasformata di Legendre. Spesso trovi nei libri che
H(p,q) = pq'-L(q,q')
Ma, un momento! H dipende da due variabili, p e q. Mentre a destra ho ben tre variabili: p, q, q'.
Come fa una a scomparire?
L'unica e' che la trasformata alla fine NON dipenda da q'. Se prendo il sup su q', rhs non dipende piu' da q'.


La trasformata di Legendre e' utilizzata anche in termodinamica per le varie funzioni, energia libera, entalpia, entropia ecc. Ad esempio F= U -TS e' una trasformata di Legendre. Peccato che il formalismo rigoroso
in termodinamica non venga mai insegnato.

Tornando alla tua domanda originale, il trucco e' che la L e' mal definita. Per questo non ha Hamiltoniana.
Non e' convessa in q', tanto per cominciare.
Poi, vediamo l'equazione del moto: d/dt dL/dq' = dL/dq
Trovo:
f'(q) q' = q' f'(q) (1)
Ma non mi dire... tautologia.

Ti ricordo che se L = T - V, con T quadratica e convessa in q', ottieni dalle equazioni
del moto la legge di Newton
mq'' = F = - grad V

mentre in (1) non vi e' traccia di cio'. Nessuna accelerazione.

Questi problemi ogni tanto si incontrano anche in teoria dei campi, con termini "cinetici"
brutti, ad esempio come
phi*d_mu phi.
Phi e' il campo, d_mu la derivata.
L'assenza di due derivate porta spiacevolezze nelle equazioni del moto, risultati privi di senso
(la famosa autoaccelerazione, ed altro).

Riassumendo, il problema e' una sorta di imbroglio, a partire dalla funzione non convessa.

>
> --
> Wakinian Tanka
Received on Mon Aug 07 2023 - 13:15:24 CEST