Rileggendo l'ultima puntata ho visto qualche piccolo errore, qualcosa
che va spiegata meglio, e un'integrazione che mi pare opportuna.
Spero con questo di avere davvero concluso, ma mai dire mai :-)
Un errore: la (4) va scritta
ds^2 = c^2 dt^2 - dz^2. (4)
Un chiarimento: a un certo punto ho scritto
> Risposta: certo, ma il fatto è che la metrica (3) è solo
> approssimata: la metrica giusta [...] è quella di Schwarzschild
con quella misteriosa [...]. Che significa?
È una notazione che uso a scopo personale, per indicare che
bisognerebbe precisare qualcosa. Poi ho dimenticato di fare la
precisazione ed è rimasta la traccia.
Avevo in mente di dire meglio, perché scrivere "metrica giusta" non va
bene.
In primo luogo, "giusta" in che senso? Esistono in fisica le cose
"giuste"? Certo, esistono gli errori, gli strafalcioni, ai quali si
possono contrapporre le cose giuste; ma non è questo il caso.
Se scrivo una metrica, questa può essere giusta in riferimento a
una qualche situazione concreta, oppure "sbagliata", nel senso che non
descrive correttamente quella situazione.
Quello che intendevo si avvicina alla seconda interpretazione.
La metrica di Rindler è appropriata (giusta) se riferita a un campo
gravitazionale uniforme (e in realtà non è proprio vero neanche questo
...); oppure in uno spazio-tempo piatto visto da un rif. rigido con
accelerazione costante nel tempo.
E anche questo è vero solo con certe cautele, che qui non posso
introdurre altrimenti di certe non finisco più.
Chi vuole capire meglio, non ha che da studiarsi il caitato cap. 4 di
irg.
Ma se abbiamo in mente lo spazio-tempo attorno alla Terra le cose
cambiano ancora, ed è lì che entra in ballo Schwarzschild.
Però la metrica di Sch. non è ancora quella "giusta", perché vale solo
se la massa sorgente del campo è *a simmetria sferica*: cosa che la
Terra non è, per due ragioni:
- perché è schiacciata
- perché ruota.
La metrica di Sch. è una buona appross., accettabile quasi sempre,
visto anche che le correzioni di RG rispetto alla teoria newtoniana
non superano comunque il 10^(-9) *vicino* alla superficie e decrescono
quando ci si allontana.
Non sono a conoscenza della situazione più recente; potrebbe darsi che
per es. nella sincronizazione di orologi le correzioni alla Sch. non
siano suff. accurate, stante la raffinatezza davvero incredibile che
hanno raggiunto gli orologi "di ultima generazione" (metto tra
virgolette questa abusatissima espressione per prenderne un po'
le distanze :-) ).
E ora l'integrazione.
Ho fatto vedere che non c'è curvatura nei limiti in cui vale la
metrica (4) perché lo spazio-tempo è quello di Minkowsky in coordinate
di Rindler.
Quindi il rettangolo alla Feynman si chiude, perché le geodetiche sono
rette e gli angoli sono retti, se disegniamo la carta nelle coord.
(t,z).
Ma può restare la curiosità di vedere che aspetto avrebbe la carta
nelle coord. (u,v): ho aggirato il problema per non mettermi a cercare
le geodetiche in quelle coordinate, ma qualcuno "mai contento" potrebbe
insistere: "però io lo vorrei vedere, il rettangolo in coord. (u,v)..."
Va bene, facciamolo contento, il mai contento :-)
Non mi metterò a cercare le geodetiche nelle coord. (u,v) partendo
dalla metrica (3) ma ne scriverò le equazioni partendo dallla metrica
(4) e dalla trasf. dalle coordin. (u,v) alle (t,z).
Farò anzitutto una semplificazione introducendo al posto di v una
nuova coord. w:
w = v + c^2/g.
Questa è solo una traslazione di v, che semplifica la metrica e la
trasf. di coordinate: essendo dw = dv la (3) diventa
ds^2 = (g^2/c^4) w^2 du^2 - dw^2 (5)
e la trasf. di coordinate
ct = w sinh(gu/c^2)
z = w cosh(gu/c^2) (6)
(notate che u e v sono lunghezze).
Le geodetiche che abbiamo usato in coord. (t,z) avevano equazioni
banali: t = t1, t = t2 per due lati, z = z1, z = z2 per gli altri.
Usando le (6) queste diventano
w sinh(gu/c^2) = c t1 (oppure = c t2)
w cosh(gu/c^2) = z1 (opp. z2).
Qui ci vuole proprio una figura, e la trovate in
http://www.sagredo.eu/figure/pub-fig34.pdf
(descrizione in pub-fig34.txt).
C'è solo una cosa da osservare: non solo i lati del rettangolo sono
curvi (questo potevamo aspettarcelo) ma *gli angoli non sono retti*.
Ma non doveva essere un rettangolo?
Si potrebbe credere che la risposta stia nel discorso che abbiamo
fatto sulle carte geografiche: stiamo guardando due diverse carte (due
"proiezioni") dello stesso spazio-tempo.
Ma non è così.
Basta riflettere che lo stesso problema s'incontra in un caso molto
più semplice.
Spazio-tempo di Minkowski: coord. (ct,x) che riportiamo in un
diagramma cartesiano, di solito con x in ascissa e ct in ordinata.
Eseguiamo la trasf. di Lorentz alle coord. ct', x' di un diverso rif.
(non scrivo le formule, arcinote).
Se riportiamo sulla figura già fatta gli assi x', ct', come li
troviamo?
L'asse x' starà obliquo tra x e la bisettrice; l'asse ct' anch'esso
obliquo, tra ct e la bisettrice. L'angolo tra x e x' è uguale a quelo
tra ct e ct'.
Eppure la metrica resta la stessa nelle nuove coordinate, diagonale;
il che dimostra che anche x' e ct' sono tra loro *ortogonali*, come x
e ct. Però la figura racconta un'altra storia...
Non so se chi mi legge si è mai soffermato su questo aspetto, che
credo sia cruciale nell'insegnamento: come si fa a convincere i
ragazzi che gli assi x' e ct' sono ortogonali, quando si vede a occhio
che non lo sono?
La soluzione didattica non la so, forse non c'è: forse l'unica è che a
livello di s.s.s. non si parli di metrica, quindi di ortogonalità,
ecc.
Ma ciò non toglie che chi pratica questa materia dovrebbe avere le
idee chiare...
Mi sono reso conto del problema alcuni anni fa, ho cominciato a
pensarci su, e il risultato è uno scritto che trovate in
http://www.sagredo.eu/varie/rif-simul.pdf
Non sono sicuro che sia sempre chiaro; forse in qualche punto sono
stato un po' troppo stringato o veloce (e naturalmente potrei anche
aver commesso qualche errore :-) ).
Apprezzerei commenti in merito.
--
Elio Fabri
Received on Sun Aug 13 2023 - 16:26:34 CEST