Re: Susskind & Friedman - Meccanica Quantistica - Minimo Teorico - Esercizio 3.1

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Sun, 8 Oct 2023 16:18:54 +0200

Pier Franco Nali ha scritto:
> Un altro esempio di questo approccio molto pragmatico e a-formale di
> S., tagliato per il target del corso, lo trovo al par. 3.8 IL
> PRINCIPIO DI SPIN-POLARIZZAZIONE, pagg. 69-70 (vedi qui:
> https://ibb.co/c8Zp4gz
> https://ibb.co/5Gbg9D8 ).
>
> Si tratta del risultato per cui, dato un qualsiasi stato di singolo
> spin, esiste un operatore, corrispondente a una certa direzione
> dello spin, che ha quello stato come autovettore con autovalore +1.
>
> Anche la dimostrazione di questo teorema è lasciata al lettore, però
> questa volta gli autori non si sbilanciano sul livello di
> difficoltà. Il problema, comunque, è ancora una volta abbordabile
> anche con un armamentario formale ridotto al minimo.
Sul libro non posso dir niente perché non lo conosco, e non bastano
certo quelle due pagine.
Ho visitato il sito dell'editore e ho letto il proposito della
collana. Ho i miei dubbi...
L'intenzione di scrivere un testo autosufficiente dal punto di vista
matematico non è originale; per quanto io conosca pochissimi libri di
m.q., questo lo fece già Dirac.
A me il Dirac quando lo lessi (al quarto anno di fisica) piacque
molto, ma non ero digiuno di m.q. Che Dirac avesse compiuto
un'operazione molto originale lo capii molto dopo; capii che lui
sapeva molta più matematica di quanto poteva apparire da quel libro.
Dubito che si possa dire lo stesso di S. (per l'originalità).

Riguardo ai teoremi, osservo che sono teoremi di matematica; la fisica
non c'entra proprio.
Il secondo teorema che citi è facile o difficile? Provo a rispondere
scrivendo la dimostrazione così come mi viene in mente.

Sia |A> un generico ket (normalizzato). Un operatore hermitiano che ha
|A> come autovettore è immediato: à il proiettore
P = |A><A|.
Può essere della forma n.s (s sta per sigma)?
Sicuramente no, perché s_x, s_y, s_z hanno traccia nulla mentre
Tr(P) = 1.
Ma a questo si rimedia subito:
Q = A - I/3
ha traccia nulla.
Per completare la dim. occorre solo provare che ogni op. hermitiano a
traccia nulla è combin. lineare di s_x, s_y, s_z.
Intanto ogni op. hermitiano è combin. lineare di I, s_x, s_y, s_z:
questo si vede subito dalle matrici.
Sia dunque
Q = n_0 I + n_x s_x + n_y s_y + n_z s_z
con n_0, n_x, n_y, n_z reali.
La condizione Tr(Q) = 0 comporta subito n_0=0.
(Si lascia al lettore di determinare n_x, n_y, n_z dato |A>.)

Domanda: questa dim. è facile o difficile?
Dipende per chi.
A mio parere per un autodidatta, anche se nel libro ci sono tutte le
informazioni occorrenti, è difficile.
La difficoltà è che quel lettore non è abituato a costruire
dimostrazioni, a traccaire un filo di ragionmento, a mettere insieme
ciò che sa per arrivare al risultato.

Altra domanda: S. dice che quel teorema vale solo per spin 1/2?
Se non lo dice, sono sicuro che chi lo legge penserà che valga sempre,
il che è invece falso, com'è facile dimostrare contando i parametri
liberi.

Ma a parte tutto questo, avrei una domanda.
Da ciò che avete scritto non sono riuscito a farmi un'idea di come è
trattata la *fisica*.

In un altro post leggo:
> Tanto è vero che nei primi capitoli si introduce l'essenziale di
> un'algebra dei ket e dei bra, basata su principi e postulati di
> origine più 'fisica' che matematica, senza badare troppo al rigore
> formale.
Il problema non è il rigore.
Ciò che a mio parere è indispensabile cercando d'insegnare la m.q. *a
qualsiasi livello* è di far capire la rottura col paradigma
newtoniano, a cominciare da ciò che s'intende con "stato" di un
sistema.
Qualunque tentativo di rendere "naturale" questo passaggio è secondo
me un pesante travisamento, un inganno che avrà gravi conseguenze
nella comprensione della m.q.

Un altro punto che sempre si trascura, è che non si può capire la m.q.
se non si ha una sufficiente padronanza di gran parte della fisica
classica: almeno meccanica, ottica, e.m.
Mi direte che allora ben pochi studenti di fisica possono capire la
m.q.? Infatti...
Ma al livello semidivulgativo, dove sembra stare Susskind, l'impresa
la reputo disperata, a meno di non partire dedicando spazio e tempo
adeguati alle premesse necessarie.

Quanto alla preoccupazione di Giorgio:
> In particolare, mi chiedo quanto l'attuale insistere sulla parte più
> algebrica e meno analitica del formalismo degli spazi di Hilbert,
> privilegiando quelli a dimensione finita, non porti a ignorare tutta
> una serie di questioni, forse complesse, ma secondo me importanti
> (p.es. la completezza, l'esistenza di operatori non limitati e quindi
> non definiti su tutto lo spazio di Hilbert, etc.).
Direi che è certo fondata, tanto che io avevo inizialmente pensato che
quel libro fosse dedicato a un particolare target: gli informatici
quantistici.
Non so quanti q-bit occorreranno per avere un computer rispettabile,
ma sarà sempre un numero finito, e lo stesso accadrà del relativo
spazio degli stati.
Né si potrà usare l'appross. usuale in fisica dei solidi, del
cristallo periodico infinito...

Ma se il libro è dedicato a un lettore che si è pentito di non aver
studiato fisica, dovrà contenere almeno la spiegazione quantistica del
modello atomico di Bohr, che già usa uno spazio L^2(R^3).
C'è? Scommetto di no :-)
Per non parlare della relazione d'indeterminazione...
Conoscerne il *vero* significato fa o no parte del "minimo teorico" di
Susskind?
-- 
Elio Fabri
Received on Sun Oct 08 2023 - 16:18:54 CEST

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