Re: sommare onde "sfasate"

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sat, 15 Feb 2014 01:56:25 +0100

Aleph ha spiegato il 13/02/2014 :

>
> A_media = A*exp(-s^2/2)*exp(-(s1*t)^2/2) (2*)

Naturalmente si tratta semplicemente della trasformata di Fourier della
gaussiana, il significato di questa media non è comunque molto chiaro
in termini operativo, cioè se noi consideriamo semplicemente una somma
di un numero finito di onde con frequenza distribuita, ma fase uguale,
secondo una gaussiana otteniamo per l'ampiezza al tempo zero un valore
definito, mentre l'andamento nel tempo benché deterministico è una
variabile aleatoria se lo fotografiamo ad dato tempo, il valore di
tutte le N frequenze aleatorie che sono state "sorteggiate" può essere
ricostruito in linea di principio da N fermo immagine.

> dove la t rappresenta la variabile indipendente.

Qualcosa mi ricorda il celebre Landau Damping (che però ha origine
dall'accoppiamento fra modi che invece in questo caso sono
indipendenti) ed è uno smorzamento esattamente esponenziale (che io
sappia non ci sono esponenti di stretching, ma ne so poco).

Mi ricordo che interviene un analogo effetto studiando la funzione di
autocorrelazione per una variabile x che risulta dalla somma di più
fasi. Per esempio per una distribuzione uniforme di frequenze su un
intervallo il decadimento è esponenziale senza stretching exponentials.

E' curioso, alla prima, che anche per un numero finito di modi (io
studiavo sistemi con meno di 6 modi principali) si osserva questo
comportamento sebbene poi lo spettro sia perfettamente definito
(l'orecchio umano non sente la differenza di fase, per lo più avverte
come identiche forme d'onda totale completamente differenti una
dall'altra).

Per il caso di un numero finito di modi in linea di principio uno
dovrebbe osservare una periodicità, ma siccome il quasi-periodo è
correlato con il minimo comune multiplo fra il numeratore ed il
denominatore delle approssimazioni razionali dei rapporti fra le
frequenze, al crescere delle frequenze il quasi-periodo cresce
moltiplicativamente, con infinite frequenze come hai studiato tu, la
periodicità è assente del tutto. Un problema che mi ponevo, comunque è
quello di definire la portante media. Di volta in volta si vede una
funzione di autocorrelazione estramente irregolare eccetto per il fatto
che l'ampiezza mediamente decresce, la domanda che mi pongo è: se noi
abbiamo i pesi delle frequenze p1 f1, p2 f2, ... pn fn, al variare
delle condizioni iniziali, che può essere lo stato di eccitazione di un
multioscillatore lineare, questi pesi saranno delle variabili
aleatorie, ma anche le fasi, e quindi se considero la media nello
spazio delle fasi per i punti che corrispondono ad una data energia,
che cosa ottengo? Risulterà una frequenza media dominante ed un
comportamento preciso dell'andamento temporale dell'ampiezza
"portante"?

Inoltre tornando al caso di sistemi armonici plurimodali piccole non
linearità possono alterare il comportamento del sistema, in accordo con
il teorema KAM trasferendo energia da un modo ad un altro. Chissà che
effetto ha la non linearità nel caso di infinite frequenze vicine?


> La differenza notevole rispetto al caso precedente è che l'onda media
> risultante è smorzata esponenzialmente al crescere di t.

sì, direi però superesponenzialmente. C'è un'osservazione di Arnold,
nel suo libro di meccanica che dice questa cosa, che riporto, giusto
per ricollegare il discorso "stazionario" che stiamo guardando qui con
i casi "dinamici" reali:

La velocità media di allontanamento delle variabili d'azione dai valori
iniziali, negli esempi noti è dell'ordine di exp(-1/sqrt(e)) dove e è
il parametro di interazione cioè essa decresce più velocemente di
qualunque potenza della perturbazione. Dice poi che in generale
l'incremento delle variabili d'azione sarà piccolo finché è piccolo il
tempo in confronto a exp(1/e^d). Dove d è un esponente fra 0 ed 1.
Received on Sat Feb 15 2014 - 01:56:25 CET