Seconda puntata.
Avevo scritto:
> Elettromagnetismo.
> Qui le cose si complicano, perché sono complicate le leggi.
Vediamo.
Per la legge di Coulomb vale quanto detto per la gravitazione.
Ma la presenza di campi magnetici altera il quadro e obbliga a
distinguere.
Ci sono due modi diversi di porre il problema.
1) Abbiamo un laboratorio, fermo in un certo RI (lo chiamo K), nel
quale sono presenti corpi carichi e circuiti percorsi da corrente.
Ne segue che sono presenti campi elettrico e magnetico.
Suppongo che in K valgano le leggi dell'elttromagnetismo: quelle che
dicono quanto valgono i campi, e quella della forza di Lorentz.
Ora costruiamo un secondo laboratorio, identico al precedente, che
però è fermo in un diverso RI (K'), quindi si muove rispetto al primo.
Domanda: i campi in K' soddisfano ancora le leggi dell'elettromagnetismo?
Vale anche in K' la legge della forza di Lorentz?
2) Consideriamo gli strumenti fermi in K', che producono certi campi
e.m., e confrontiamo (facendo sempre misure solo in K) coi campi
prodotti dagli strumenti fermi in K.
Domanda: troveremo gli stessi valori?
Cominciamo da 2).
E' facile vedere che la risposta è negativa.
(Facile se si conoscono le leggi in questione...)
Vediamo un esempio semplice.
Una carica q positiva si muove (rispetto a K) a velocità v costante
lungo una retta.
(Quindi è ferma nel rif. K' che si muova alla stessa velocità.)
Quanto vale, misurato in K, il campo elettrico in un dato punto?
Assumo l'asse x in K coincidente con la traiettoria di q, orientato in
modo che la velocità della carica sia positiva. Gli assi y e z sono di
conseguenza.
Dato che il moto è uniforme, mi posso limitare all'istante in cui q
passa per l'origine O, e cerco il valore di E in un punto P di
coordinate (x,y,0).
Premettiamo i dati sul campo che si misurerebbe se la carica fosse
ferma. Basta la legge di Coulomb e la definizione di campo elettrico per
trovare
Ex = q*x/(k*r^3)
Ey = q*y/(k*r^3)
Ez = 0
dove k = 4*pi*eps0, r = sqrt(x^2 + y^2).
Se invece la carica si muove, i valori sono diversi:
Ex = g*q*x/[k*(r')^3]
Ey = g*q*y/[k*(r')^3]
Ez = 0
dove
g = 1/sqrt(1 - v^2/c^2)
r' = sqrt[(g*x)^2 + y^2].
Si vede che E ha ancora la direzione di OP (radiale) ma la sua
intensità è diversa.
Per di più, vista la definizione di r', questa intensità cambia, anche
prendendo punti P alla stessa distanza da O, a seconda dell'angolo di
OP con l'asse x.
Avevo detto che questo è un caso semplice, e in effetti è il più
semplice possibile.
Tuttavia dimostrare il risultato non è proprio semplice...
Devi però aver chiaro che si tratta solo di un problema matematico:
risolvere le eq. di Maxwell nelle date condizioni.
Questo fu fatto intorno al 1890, probab. (ignoranza mia) da diversi
studiosi: per es. Heaviside.
Né ti deve trarre in inganno la comparsa del fattore g, che se non sei
del tutto all'oscuro saprai essere caratteristico della relatività.
Tuttavia qui la relatività non c'è entrata affatto: ci siamo soltanto
chiesti quanto vale E *nel rif. K*, quando la carica q si muove.
Insisto: non ci siamo (ancora) chiesti quanto valga E nel rif. K' in
cui q è ferma...
Debbo aggiungere che c'è un'altra differenza fra carica ferma e carica
in moto: la seconda produce anche *un campo magnetico*.
Non occorre un calcolo a parte: quello che fornisce E ti dà anche B.
Ecco l'espressione:
B = v x E / c^2. (1)
Qui "x" indica il prodotto vettore, e saprai che c^2 = 1/(eps0 * mu0).
E' interessante applicare quanto detto a un altro problema. oltre la
carica q già descritta, ce n'è un'altra uguale che si muove alla
stessa velocità di q, ma al tempo 0 si trova in (0,a,0).
Mi chiedo: quanto vale la forza tra le due cariche?
Se fossero ferma, sarebbe facile: le due ofrze, dirette secondo y e
tra loro oposte, in modulo valgono
q^2/(k*a^2)
(legge di Coulomb).
Per rispondere quando sono in moto, sembrerebbe che basti usare il
campo elettrico già calcolato: nella posizione della seconda carica r'=a
e il campo vale
Ey = g*q/(k*a^2)
ossia è *maggiore* che con cariche ferme.
Dato che la legge della forza è sempre F=q*E, troviamo per la forza il
valore
|F|(el) = g*q^2/(k*a^2). (2)
Ma c'è un errore: la carica in moto (come abbiamo visto) produce anche
un campo magnetico. E la seconda carica, che si muove in un campo
magnetico, oltre alla forza q*E dovuta al campo elettrico, sente anche
un'altra forza q*v x B.
Di solito questa è detta "forza di Lorentz", però bisogna stare
attenti, perché a volte si chiama così la forza complessiva
risultante, del campo elettrico e di quello magneitco.
Osserviamo che B, dato dalla (1) è diretto nel verso positivo di z; di
conseguenza la forza di Lorentz è direttta come y, ma in verso
*negativo*, perciò si sottrae alla (1).
facendo i calcoli, si trova
|B| = v*g*q/(k*a^2*c^2)
|F|(Lorentz) = v^2*g*q^2/(k*a^2*c^2)
|F|(ris.) = q^2/(g*k*a^2)
In parole: le due cariche si respingono con una forza *minore* che se
fossero ferme, per un fattore g.
Ci sarebbe ora da parlare del problema 1), che ripeto:
I campi in K' soddisfano ancora le leggi dell'elettromagnetismo?
Vale anche in K' la legge della forza di Lorentz?
Questo a una prossima puntata...
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Elio Fabri
Received on Mon Nov 06 2017 - 17:32:35 CET