Il 03/06/2014 12:07, giuliacalabretta2094_at_gmail.com ha scritto:
> Date le condizioni
> [sistemati gli spazi per miglior leggibilita']
> 1) d(F(x),F(y)) < a d(x,y)
immagino con 0<=a<1. Cioe' F e' una contrazione di Banach
> 2) d(F(x),F(y)) < b [d(x,F(x))+ d(y,F(y))]
disuguaglianza fondamentale delle contrazioni, che si dimostra appunto
dalla 1) usando 0<=a<1 e gli "assiomi metrici"
> 3) d(F(x),F(y)) < c [ d(x,F(y))+ d(y,F(x))]
si dimostra allo stesso modo, anche se non viene considerata tanto
fondamentale, e sempre
> Utilizzando "assiomi metrici"
che sono gli assiomi cui deve soddisfare d(x,y) per poter essere
chiamata "distanza":
d(x,y) >= 0 non-negativita'
d(x,y) = d(y,x) simmetria
d(x,y)=0 se e solo se x=y
d(x,y) <= d(x,z) + d(z,y) disuguaglianza triangolare
> ognuna delle tre relazioni
"Ognuna"? Dalla 1) si ricavano 2) e 3), ma stai dando per scontato che
da 2) e da 3) si ricavi la 1). Lo sai gia' per certo o non hai nemmeno
pensato al problema?
> può essere scritta nelle maniera equivalente
> 4) d(F(x),F(y)) < l d(x,y) + 2l d(x,F(x))
> e
> 5) d(F(x),F(y)) < l d(x,y) + 2l d(x,F(y))
>
> dove l=max {a, b/(1-b), c/(1-c)}.
> [aggiunte le necessarie parentesi.]
(chissa' perche' "l"? Forse ha a che vedere con Lipschitz? :-)
Ti do' la traccia della dimostrazione della 2), adattandola puoi
arrivare facilmente a dimostrare 4) e 5); bada pero' che "equivalente"
significa anche che devi dimostrare 1), 2) e 3) partendo da 4) o da 5).
Parti dalla QUESTA disuguaglianza triangolare:
d(x,y) <= d(x,F(x)) + d(F(x),F(y)) + d(F(y),y)
(in effetti non e' proprio triangolare, e' quadrilatera... ma si ricava
facilmente dalla triangolare applicandola anche a uno degli addendi al
secondo membro.)
Ne ricavi
d(x,y) <= d(x,F(x)) + d(F(x),F(y)) + d(F(y),y)
<= d(x,F(x)) + a d(x,y) + d(F(y),y) (per la 1).)
d(x,y) - a d(x,y) <= d(x,F(x)) + d(F(y),y)
d(x,y)(1 - a) <= d(x,F(x)) + d(F(y),y)
e, dato che 1-a e' positivo,
d(x,y)(1 - a) <= [d(x,F(x)) + d(F(y),y)]
d(x,y) <= [d(x,F(x)) + d(F(y),y)]/(1 - a) .
Penso che ora ce la puoi fare.
PERO':
1) era piu' adatto it.scienza matematica di it.scienza.fisica
2) com'e' che stai affrontando lo studio delle contrazioni senza avere
la definizione di una distanza sulla punta delle dita?
3) se esponi un problema (e neanche tanto comune) cosi' ex abrupto,
senza specificare il contesto (inclusa tua preparazione e materia di
studio), magari il testo in cui lo hai incontrato, gli assiomi che hai
gia' dato per buoni e il significato dei simboli che usi, metti a dura
prova le capacita' divinatorie di chi legge.
Fra l'altro, proprio sforzandoti di esporre preliminarmente il
significato di d(x,y) avresti potuto richiamare alla memoria la risposta
alla domanda che poni nel subject.
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TRu-TS
buon vento e cieli sereni
Received on Thu Jun 05 2014 - 01:03:22 CEST