Salve,
vi sottopongo un problema matematico che non riesco a focalizzare e a
formalizzare. Potrei scrivere su altri gruppi, ma il problema
matematico (contrassegnato piu' avanti da tre 'xxx') e' un
sottoproblema di uno fisico, quindi mi interessa la risposta di fisici.
L'argomento e' specifico. Si parla di trasporto radiativo in atmosfera.
Storicamente questa disciplina emerge dall'astrofisica e dallo studio
di trasporto di neutroni nei reattori. Quindi ho moderata fiducia che
qualcuno possa seguire il flusso del discorso e conosca le tecniche
adoperate, soprattutto quelle di inversione e ottimizzazione.
Inizio con la premessa, dove descrivo brevemente il contesto in cui
l'esperimento avviene. Poi delineo l'approccio standard per la
soluzione, e quello alternativo che mi pone il problema matematico che
non riesco a focalizzare.
1) Contesto
Uno spettrometro osserva la Terra e misura luce solare riflessa (R) tra
il visibile e il vicino-infrarosso (758 - 772 nm, risoluzione 0.4 nm)
dove e' situata una banda d'assorbimento dell'ossigeno molecolare.
Risolvendo l'equazione di trasporto radiativo (RTE, *) (problema
diretto), si mette in relazione la presenza di uno strato diffusivo di
particelle in atmosfera con la variazione di assorbimento di O2
(problema inverso). Lo "strato diffusivo di particelle" potrebbe essere
sia una nuvola sia inquinamento (PM2.5) o sabbia del Sahara, per
esempio.
La RTE dipende da tre fattori:
- densita' ottica dello strato diffusivo (= tau)
- rapporto tra assobimento/diffusione delle particelle (= omega)
- distribuzione angolare della diffusione (=phmat)
2) Approccio standard
L'approccio canonico e' creare una serie di tabelle multidimensionali
dove sono salvati i valori R (in funzione di lunghezza d'onda,
geometria del problema, set di parametri geofisici dello strato
diffusivo, condizioni meteorologiche locali ...) e cercare il minimo
globale dentro la tabella multidimensionale, estraendo quanti piu'
parametri geofisici possibili.
La RTE e' risolta esattamente, cioe' con schemi numerici tipo
Discrete-Ordinate-Method (DOM), nei quali il primo vettore di Stokes
(i.e. l'intensita') viene descritto come serie di Fourier, ogni termine
della quale viene discretizzato per ogni variabile angolare. La
soluzione generale emerge dal sistema di equazioni differenziali come
combinazione linerare di soluzione omogenena + soluzione particolare.
Il problema inverso invece viene formalizzato in spazi vettoriali
compatti di Hilbert, nei quali si definisce un operatore che agisce su
dei kernel (gli Jacobiani delle sezioni d'urto dell'O2 in funzione
della quota) e nei quali si cerca il minimo tramite regolarizzazione di
Tikhonov.
Nell'assunzione che il rumore e le variabili cercate siano distribuite
gassianamente, le loro varianze e coviaranze aiutano a definire i
"gradi di liberta'" (DOF) del sistema come:
DOF = \Sum_i^n \frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2 + \alpha}
dove i sigma sono gli autovalori di una matrice (A, in questa pagina **
), dopo aver risolto il problema di minimizzazione.
DOF = 0, allora tutte le informazioni provengono dagli a-priori
DOF = n, allora tutte le informazioni provengono dalle misure
Solitamente DOF e' compreso tra [0 - n), in linea di massima e' 2. E'
un limite che l'approccio standard non riesce a superare. Con due gradi
di liberta' si possono, per esempio, calcolare solo due quantita'
geofisiche a scelta dalla soluzione della RTE e non di piu'.
3) Approccio alternativo
La RTE e' risolta tramite parametrizzazioni analitiche. La teoria venne
formalizzata da Van de Hulst e Ambartsumian negli anni 60 e offre il
calcolo dell'intensita' tramite semplici funzioni analitiche, evitando
che si ricorra all'espansione in serie di Fourier (***, Eq. 3.23, p
118, per esempio), relative discretizzazioni e soluzioni di equazioni
differenziali.
Il problema inverso invece di essere incapsulato nel metodo di cui
sopra, viene risolto ipotizzando che alcuni parametri geofisici dello
strato diffusivo siano, in prima approssimazione, funzione lineare
della variazione del parametro geofisico di interesse.
E' banale calcolare l'espansione di Taylor di R in funzione del
parametro geofisico di interesse e minimizzare il tutto con il metodo
dei minini quadrati.
---- Problema ----
Nell'approccio alternativo analitico, i parametri geofisici che riesco
ad estrarre dalla minimizzazione sono sempre piu' di 2, cioe' i gradi
di liberta' (DOF) sono piu' di due. Pero' non formalizzo alcuna
covarianza, ne' a-priori ne' a-posteriori, come nel metodo standard,
quindi il calcolo diretto dei DOF non e' possibile.
xxx
Da dove nasce l'incremento in contenuto informativo (DIF) che si ha
nella formulazione analitica della RTE?
xxx
Ricordo che il DIF qui non si puo' calcolare formalmente secondo
Shannon, perche' si ha
DIF = 1/2 * \Sum_i^n log ( 1+ \frac{\sigma_i^2}{\alpha} )
ma, ancora, non ho accesso alle covarianze.
Eppure - in un qualche modo - le parametrizzazioni analitiche riescono
ad alleviare il problema inverso dalla condizione di "ill-posedness"
(secondo Hadamard).
Grazie a chiunque sia arrivato a leggere fin qui.
Sono apprezzate intuizioni di qualsiasi tipo, rimandi a oscura
letteratura russa, risposte interdisciplinari, nonche' le dimostrazioni
complete.
(*) RTE
http://en.wikipedia.org/wiki/Radiative_transfer#The_equation_of_radiative_transfer
(**)
http://en.wikipedia.org/wiki/Optimal_estimation
(***)
http://books.google.de/books?id=umLfH_DmdzoC
Received on Mon Jul 07 2014 - 13:07:36 CEST