Re: Fisica dei plasmi e sistemi non hamiltoniani

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 2 Jan 2010 12:07:18 -0800 (PST)

Ciao, non conosco la questione che citi, anche se ho studiato i
plasmoni e tutto il resto durante il mio dottorato: ho dimenticato
tutto! Per� posso risponderti in generale.


On 1 Gen, 15:10, Francesco Piastra <f.pias..._at_gmail.com> wrote:


> Le cose che mi sono domandato in seguenza sono:
> - se non posso usare le eq.ni di Ham. vuol dire che non posso definire
> una hamiltoniana del sistema;

No, non vuol dire necessariamente questo.

> - forse non posso definire variabili coniugate canonicamente (tramite
> le parentesi di Poisson), ma poi avevo il sospetto che questo
> rientrasse nella domanda precedente;

Questo � un caso possibile: puoi avere un sistema fisico che ammette
descrizione lagrangiana, ma la trasformazione di Legendre � degenere,
nel senso che non puoi passare dalle variabili q,q' alle variabili q,
p
perch� la trasformazione non � invertibile.
Questa situazione pu� apparire in fisica classica per sistemi con
lagrangiana "non standard", cio� in cui non ci sia un termine
quadratico nelle q' con forma quadratica non degenere, ma anche in
teoria dei campi in situazioni simili (il caso pi� noto � quello
dell'equazione di Dirac).
In questo caso l'hamiltoniano � definibile nella formulazione
lagrangiana, ma le equazioni di Hamilton non le puoi scrivere perch�
per poterlo fare dovresti esprimere q' in funzione di q e p e questo
non si pu�.


> - forse il thm di Liuoville non vale in questi sistemi (dissipativi?),
> per� anche questo mi pare strano che possa entrarci qualcosa con
> l'osservazione che mi � stata posta;

Questo � un problema pi� profondo. Se parti da un sistema dinamico
descritto in uno spazio di dimensione pari
con coordinate x_1,....,x_2n (se la dimensione � dispari la cosa
finisce immediatamente perch� per avere descrizione di Hamilton devi
avere tante p quante q e quindi un numero pari di dimensioni) con
certe equazioni del moto (pensate del primo'ordine, e questo � sempre
possibile), puoi chiederti se esista un hamiltoniano H(x_1,...,x_2n)
rispetto al quale le equazioni di evoluzione sono nella forma di
Hamilton scegliendo n tra le coordinate dette pensate come ccordinate
q e le rimanenti n pensate come coordinate p.
Se questo � possibile allora deve accadere che se fai evolvere un
insieme facendo evolvere ogni suo punto interno come dicono le leggi
di evoluzione, allora il volume dell'insieme � costante nel tempo,
volume calcolato integrando rispetto a dx_1....dx_2n. Questo requisito
si pu� controllare subito, se non vale non pu� esistere alcun
hamiltoniano le cui equazioni di hamilton coincidono con quelle del
moto.
In realt� il discorso � un po' pi� complicato perch� si potrebbe
ancora eseguire un cambiamento di coordinate e vedere se nelle nuove
coordinate c'� un hamiltoniano...


> - forse non esiste un generatore di evoluzione temporale per tale
> sistema? Ma questa cosa per� mi sembra ancora pi� bizzarra;
>

No questo esiste nel momento in cui esistono le equazioni del moto del
prim'ordine: � un campo vettoriale definito sulla varfiet�...


>
> > Ciao, dipende da cosa intendi per "sistema dissipativo". Ci sono
> > quelli che intendono un sistema dinamico in cui non preservato il
> > volume dello spazio (delle fasi)
> > dall'evoluzione dinamica. In tal caso il sistema non pu essere
> > descritto da alcuna hamiltoniana dato che se ci fosse, il teorema di
> > Liouville implicherebbe la conservazione del volume dello spazio delle
> > fasi.
>
> Infatti questa � la risposta che mi sembrava pi� attendibile anche per
> me, ma non ero sicuro. Per� mi sorge una nuova domanda: sistemi che
> non possono essere trattati con formalismo hamiltoniano possono
> ammettere una descrizione lagrangiana?
>

si, ti ho risposto sopra

> > Nel caso in esame la cosa mi abbastanza oscura dato che mi
> > pare si parli di un sistema continuo e pertanto non mi chiaro cosa
> > si intenda per volume dello spazio delle fasi (se si vuole usare il
> > ragionamento "dissipativo" => "non hamiltoniano") e cosa sia il
> > teorema di Liouville in dimensione infinita.
>
> Qui non ti riesco a seguire :-(
>

il discorso che ho fatto sopra vale per sistemi descritti su una
variet� in cui lo stato � istante per istante un punto sulla variet�.
Nel caso di teorie di campo lo stato � un campo e non un punto e lo
spazio degli stati non � una variet� ma uno spazio di
funzioni...allora sarebbe necessario un teoreema di Liouville dove la
misura dello spazio delle fasi � un integrale funzionale. Non sono in
grado di dire se qualcosa di simile esiste...probabilmente si, ma io
non l'ho mai visto.


> Vi confesso che questi fatti non mi erano noti... dove e come posso
> approfondire tutto ci�? A me sembra che nei testi di meccanica
> analitica e di fisica quantistica che vengono adottati non c'� mai
> nessun riferimento a queste cose. Sinceramente ho sempre visto sistemi
> fisici descritti da un'hamiltoniana e poi quantizzati.... ma a quanto
> sembra si possono quantizzare anche sistemi che una descrizione di
> Hamilton non ce l'hanno.

Il campo di Dirac non ammette descrizione di Hamilton (ma lagrangiana
si)
 anche se ammette hamiltoniana e si quantizza.
Il punto � che "quantizzare" un sistema fisico � un termine molto
vago, tu ti stai riferendo al principio di corrispondenza di Dirac,
che funziona quando funziona, comunque per funzionare richiede che
esista una descrizione di Hamilton del sistema classico...ma i sistemi
quantistici esistono indipendentemente da questa procedura. Ci sono
anche sistemi intrinsecamente quantistici con alcun corrispondente
classico (lo spin).
La descrizione della teoria dei campi quantistici nella formulazione
di Wightman e anche altre pi� avanzate non parte dalla formulazione
hamiltoniana di un sistema classico, ma direttamente dalle funzioni a
n-punti della teoria...Per� ci sono troppe cose da dire e ti conviene
occuparti di queste cose con calma senza fare passi troppo lunghi. Mi
dispiace non poter dire altro dato che non ricordo pi� nulla del
sistema fisico al quale ti riferivi.

Ciao, Valter
Received on Sat Jan 02 2010 - 21:07:18 CET