On Jan 5, 11:57�pm, Imago Mortis <meccanica.quantost..._at_gmx.com>
wrote:
> � �Ammirati Colleghi
>
> ( -- 1 -- )
>
> Mi sembra di capire che la differenza tra i formalismi lagrangiano e
> hamiltoniano stia, sostanzialmente, nel fatto che le velocita'
> generalizzate sono tensori di rango uno controvarianti mentre i momenti
> coniugati sono tensori dello stesso rango ma covarianti.
>
Ciao, tu stai assumendo che esista una nozione canonica di spazio
delle fasi (o delle configurazioni o degli atti di moto), mentre in
generale non c'�.
C'� se il sistema vincolato che consideri ammette un sistema di
riferimento in cui le equazioni dei vincoli non dipendono dal tempo.
In tal caso puoi rappresentare la teoria come dici tu, pensando di
lavorare in un prodotto cartesiano "spazio delle configurazioni" X
asse temporale e passando agli spazi tengenti o cotangenti del primo
fattore...In generale invece devi usare un fibrato sull'asse del tempo
(un jet-bundle). Mettiamoci per� nelle tue ipotesi.
Nel caso semplificato che ho detto � vero quello che hai scritto
sopra.
> ( -- 2 -- )
>
> Ne discende che la lagrangiana e l'hamiltoniana sono aggetti che vivono
> in spazi diversi: la prima sul fibrato tangente alla varieta' delle
> configurazione, la seconda su quello cotangente.
C'� una differenza ancora pi� macroscopica appena consideri
trasformazioni di coordinate che coinvolgono il tempo: la lagrangiana
� una funzione scalare, l'hamiltonaniana � una porcheria che si
trasforma in modo "folle"
cambiando coordinate, come ci si aspetta osservando che sotto certe
ipotesi corrisponde all'energia meccanica del sistema...
> Spesso questi due enti
> vengono richiamati semplicemente evocandone la struttura di "prodotto"
> il che mi sembra scorretto perche', allora, tanto valeva definire
> lagrangiana e hamiltoniana semplicemente in R^n x R^n x R, come
> nell'analisi classica.
>
Per fare le cose per bene, come dicevo sopra, ed assumendo lo schema
della fisica classica, bisogna costruire due oggetti: lo spaziotempo
degli atti di moto e lo spaziotempo delle fasi.
Il primo � quello su cui si mettono coordinate locali t, q, q puntato
ed il secondo � quello su cui si mettono le coordinate locali t, q, p.
Queste due strutture vengono costruite in un certo modo ed
indipendentemente dall'assegnazione di una lagrangiana (quindi le p
NON sono le derivate di L rispetto alle q punto!)
Io faccio un po' di queste cose a lezione e trovi qualcosa sulle mie
dispense di meccanica analitica.
> ( -- 3 -- )
>
> In fondo, anche se non saprei proprio come dimostrarlo ( anzi se mi date
> un riferimento bibliografico, vi ringrazio ... ) il fatto che un sistema
> di equazioni avente struttura lagrangiana e quello hamiltoniano siano
> localmente interpreti della stessa fenomenologia c'entra in qualche
> maniera, ci scommetterei, con il fatto che ogni fibrato e' localmente (
> !! ) interpretabile come prodotto dello spazio base per la fibra.
>
Quello che hai detto � vero per tutti i fibrati! Non ho capito la
questione.
> ( -- 4 -- )
>
> Invece, mi sembra di capire ( e qui avrei proprio bisogno di un testo
> che me lo spiegasse chiaramente ... �) che i due fibrati ereditino in
> maniera diversa la topologia dello spazio delle configurazioni, il che
> ha conseguenze "globali", "non locali".
>
Si, per� dovresti vedere come si costruiscono (la parte lagrangiana,
nelle mie dispense, le prima su
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html � descritta nel cap
7 ed in particolare nella sezione 7.4.1,
la parte hamiltoniana, nelle mie dispense � discussa nel cap 10 ed in
particolare nella sezione 10.3.1)
> Un fisico mi ha
> detto che la differenza tra i due e' "cio' che osserviamo come
> particelle".
non capisco cosa intenda...
ciao, Valter
Received on Thu Jan 07 2010 - 09:07:29 CET