Zebra ha scritto:
> Goedel ha provato che in ogni sistema formale abbastanza complesso
> esiste almeno una affermazione indecidibile.
> Mi chiedo che succede quando il sistema formale � una teoria fisica,
> presentata in forma assiomatica.
> Come dire: se prendiamo la forma assiomatica della meccanica
> quantistica, allora certamente esiste un teorema derivabile dagli
> assiomi sulla cui verit� e falsit� nulla si pu� dire. Pero': poich� la
> teoria si applica al mondo, un esperimento pu� decidere in merito all
> verit� del teorema.
> Questo fatto non � strano?
La mia risposta e' che bisogna mettere bene in chiaro che cosa
significa "sitema formale", che tu sembri identificare con "forma
assiomatica".
Non posso (forse non saprei) darti una spiegazione esauriente, ma
l'essenza dell'idea di sistema formale e' che si cerca di ridurre una
teoria a una struttura puramente formale, ossia formata
a) da un _vocabolario_ di simboli (non interpretati, ossia privi di
significato)
b) un insieme di regole per formare da questi simboli delle _formule_
ammissibili; queste regole costituiscono la _sintassi_ del sistema
c) un certo numero di formule che vengono assunte come _assiomi_, che
serviranno da punti di partenza per il passo successivo
d) delle _regole di deduzione_, ossia procedure precise con cui da una
o piu' formule se ne possono costruire delle altre.
Una successione finita di formule, che inizi da uno o piu' degli
assiomi, e termini in una qualche altra formula, costituisce la
_dimostrazione_ o _deduzione_ di questa formula finale, che viene
detta _teorema_.
Una formula viene detta "indecidibile" se non e' un teorema, ossia se
non ne esiste alcuna dimostrazione, e se lo stesso accade per la sua
negazione (qui bisogna aver detto, in qualche punto, che cosa e'
l'operatore che viene chiamato "negazione").
Detto tutto questo, per poter applicare il teorema di Goedel a una
qualsiasi teoria (matematica) occorre che essa venga formalizzata,
ossia messa nella forma che ho accennata sopra (e si presenta il
problema dell'_interpretazione_).
Se pero' pensiamo a una teoria fisica il discorso cambia (si complica)
perche' una teoria fisica e' qualcosa di piu' complesso: esiste la
parte assiomatico-deduttiva, che si potrebbe sperare di formalizzare.
Ma esiste anche un'altra componente, quella delle regole
d'interpretazione.
Detto molto in breve: occorre stabilire un "ponte" tra i concetti
della teoria e i fatti, i fenomeni; cosa che si fa coi _postulati
interpretativi_.
Per es. in m.q. quando si dice che i possibili risultati della misura
di un'osservabile sono gli autovalori dell'operatore associato stiamo
appunto enunciando un postulato interpretativo, perche' i termini
"misura" e "risultato" non appartengono alla teoria assiomatica, ma al
mondo degli esperimenti.
Dubito percio' che abbia senso parlare di formalizzazione di una
teoria fisica.
Infine: tu scrivi
> Pero': poich� la teoria si applica al mondo, un esperimento pu�
> decidere in merito all verit� del teorema.
Qui ci sono due obiezioni.
La prima deriva da quanto ho detto sopra: l'applicazione al mondo e'
materia d'interpretazione, e non nel senso della logica ma della
fisica.
Seconda: nessun esperimento *prova* la validita' di un risultato
teorico; al piu' lo "corrobora", ossia lo rafforza.
Commento a latere: tu hai usato il termine "verita'" che e' un termine
assai delicato.
Nell'ambito della logica formale non ha posto: i teoremi dedotti
come ho detto sopra non sono "veri", sono soltanto "dimostrati".
"Vero" appartiene a un altro ambito, quello semantico, sul quale non
sono mai riuscito a farmi le idee chiare, per cui spero che qualcun
altro venga in soccorso :-)
?manu* ha scritto:
> Potrebbe anche darsi che il mondo fisico non sia "abbastanza
> complesso".
> Ad esempio non si pu� escludere che l'universo sia finitamente
> descrivibile (cio� che tutta l'informazione dell'universo possa essere
> codificata in un numero intero).
Io non riesco a dare un significato utile a una congettura del genere.
Non nel senso che voglio negarla; ma la ritengo fuori della portata di
qualsiasi indagine fisica prevedibile.
In altre parole: credo che la fisica non venga minimamente
influenzata, nel suo sviluppo concreto, dall'accettare o no tale
congettura.
--
Elio Fabri
Received on Mon Dec 14 2009 - 21:15:21 CET