On 20 Ott, 11:11, cometa_luminosa <alberto.r..._at_virgilio.it> wrote:
> On 19 Ott, 21:17, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
>
>
>
>
>
> > cometa_luminosa ha scritto:> Sinceramente non ho capito come fare, visto che non posso usare le
> > > uniche trasformazioni che conosco, ovvero quelle di Lorentz.
>
> > Ma non ce n'e' bisogno!
>
> > > ...
> > > Ma il mio dubbio e': questa differenza e' anche uguale alla differenza
> > > del campo inerziale misurato dentro l'astronave? (Magari e' ovvio, ma
> > > non sono molto ferrato sull'argomento).
>
> > Puo' darsi che nn sia proprio ovvio, ma e' vero.
> > Considera una piccola porzione nella coda dell'astronave, che puoi
> > supporre unif. accelerata. Allora in quel rif. sentirai un campo grav.
> > pari all'accelerazione.
> > Questo perche' per tenere un corpo fermo dovrai applicargli una forza
> > pari a ma, che ionterpreterai come necessaria per compensare il
> > campo grav. apparente.
> > Lo stesso nella testa, ma con diverso valore di g.
>
> Ok, grazie.
>
> > > In ogni caso mi viene un risultato che mi pare paradossale: la testa
> > > dell'astronave accelera di una quantita' negativa rispetto alla coda
> > > (come dovrebbe venire) ma che va a meno infinito per beta --> 1.
> > > Com'e' possibile? Devo aver sbagliato qualcosa...
>
> > In effetti non puo' essere.
> > Ma come faccio a dirti dove hai sbagliato se non so come hai fatto il
> > conto? :-)
>
> Il conto (sbagliato) e' il seguente:
>
> Considero un punto A sulla coda dell'astronave e prendo un sistema di
> riferimento solidale con tale punto.
Concentrati adesso sul moto uniformemente accelerato di questo punto.
Avr� una certa linea oraria:
x(t)
ed una certa velocit� v(t). L'accelerazione avvertita la calcoli nel
riferimento inerziale solidale con A dove vale __a__ quindi la
velocit�, nell'intervallo di tempo proprio di A: d tau � passata da 0
ad __a*dtau__, e questo � rigorosamente esatto, del resto il fattore
gamma che lega il tempo proprio di A al tempo proprio t' del
riferimento inerziale in cui A � fermo al tempo iniziale varia al
secondo ordine in dtau, (� il suggerimento di Fabri) quindi d^2t'/
dtau^2 = 0. Da questo, tornando al riferimento iniziale con una
trasformazione di Lorentz ottieni due equazioni:
d^2t/dtau^2 = dg/dtau = b g a/c (dove b = v/c e g � il fattore gamma)
d^2x/dtau^2 = d (gv)/dtau = c d(gb)/dtau = a gamma
Puoi adesso elaborare queste equazioni e risolverle per b e per gamma
trovando:
g = cosh(a tau/c)
b = senh(a tau/c)
e quindi per opportuna scelta dell'origine:
x = c^2/a cosh(a tau/c)
t = c/a senh(a tau/c)
dove per un'opportuna scelta dell'origine: c^2/a = x0(A).
oppure trasformarle per ottenere direttamente x(t). Ad esempio
risulta:
g^3 dv/dt = a che puoi integrare, trovando cbg=at. Ovvero v = at / sqrt
(1+(at/c)^2) che integri ancora ottenendo con opportuna scelta
dell'origine delle coordinate: x(t) = x(0) sqrt( 1 + (at/c)^2).
In entrambi i casi la posizione del punto B e dei punti intermedi al
tempo proprio di A: tau (che sar� per convenzione il tempo universale
del riferimento uniformemente accelerato), pu� essere ottenuta con una
trasformazione di Lorentz di parametro b(tau) = senh(a tau/c) e
risulta quindi:
x(tau) = x(0) senh(a tau/c)
t(tau) = x(0) cosh(a tau/c)
Osserviamo anzitutto x' ^2 - (ct')^2 = [x0 (a/c)]^2 e quindi il tempo
tau, tempo universale del riferimento coincide con il tempo proprio
solo per il punto x(0) = c^2/a. Altrimenti il tempo proprio, per tutti
gli altri punti � t_proprio = x0 a tau/c^2, ovvero:
x(t_proprio) = x(0) senh(c t_proprio / x(0) )
e quindi l'accelerazione � a(x0) = c^2/x(0).
La testa la identifico con un
> punto B. Indico con:
> X_A = coordinata spaziale di A nel riferimento fisso (quello rispetto
> al quale l'astronave accelera, per esempio un punto sul nostro
> pianeta);
> X_B = analoga coordinata spaziale del punto B;
> t = coordinata temporale di A nel riferimento fisso.
>
> X_A = (1/2)a*t^2 per ipotesi; a = costante;
> X_A' = a*t; �X_A'' = a; ho scritto la derivata rispetto a t con
> l'apostrofo.
> Chiamo: Beta = X_A'/c = velocita' di A (diviso c) nel riferimento
> fisso; quindi Beta' = a/c.
>
> Considero costante la lunghezza L dell'astronave nel riferimento di A.
> Allora, all'istante t, la lunghezza dell'astronave nel riferimento
> fisso vale L*Rad(1-Beta^2).
>
> Risulterebbe quindi: X_B = X_A + L*Rad(1-Beta^2)
> derivo rispetto a t:
> X_B' = X_A' �- L*[BetaBeta'/Rad(1-Beta^2)]
> derivo ancora rispetto a t:
> X_B'' = X_A'' - L*[BetaBeta'' + Beta'^2/(1-Beta^2)]/Rad(1-Beta^2) >
> (dal momento che Beta'' = a'/c = 0) >
> = a - L*Beta'^2/(1-Beta^2)^(3/2) = a - L*a^2/(1-Beta^2)^(3/2).
>
> Quindi l'accelerazione della testa dell'astronave mi risulta inferiore
> a quella della coda, della quantita' (variabile nel tempo):
> L*a^2/(1-Beta^2)^(3/2).- Nascondi testo citato
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Received on Sat Oct 31 2009 - 18:37:32 CET