Re: Elettrodinamica classica.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Wed, 14 Oct 2009 16:06:43 -0700 (PDT)

On 14 Ott, 20:44, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Gianmarco ha scritto:> Questo � vero ad ogni istante fissato, assumendo l'invarianza SO(3),
> > ma poi come devo procedere, io non ci arrivo.

> Se ho capito qualcosa, mi sembra che il tuo dubbio sia questo:
> ammmessa la simmetria SO(3) a un certo istante, chi mi garantisce che
> questa si mantiene nel tempo?

A dire il vero il problema era: come faccio ad escludere campi radiali
dipendenti dal tempo non equivalenti alla soluzione elettrostatica?
Bene, la risposta �: scrivo l'equazione della divergenza, che risulta
un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine e dipende da una
costante libera dipendente dal tempo, quindi fisso questa costante
sulla base dell'argomento che, per il campo magnetico sono escluse
sorgenti concentrate nell'origine delle coordinate, oppure pi�
semplicemente applico, per il campo magnetico, il teorema della
divergenza e noto che il flusso � nullo. Il campo elettrico invece,
per il medesimo argomento, � vincolato al valore della carica
concentrata nell'origine. Delle restanti equazioni una � identicamente
verificata, l'altra, considerando la divergenza, implica l'equazione
di continuit�. Questo � vero sebbene i potenziali di Lienard Wiechert
risultino suscettibili di variazione anche fuori della regione in cui
si svolge il moto delle cariche, ed � questa circostanza che mi
rendeva particolarmente esitante. Ma evidentemente deve essere che la
loro variazione � tale che il campo elettrico varia correttamente
rimanendo costante fuori della regione di moto delle cariche.

> Perche' se puoi essere sicuro di questo, non ci sono problemi.

Questo discende, come deve essere, anche dalla soluzione integrale del
quadripotenziale che assumo a garanzia della cancellazione dei campi
liberi, ma da qui in poi, tornando indietro di un passo posso ottenere
quanto sopra. In alternativa � possibile ragionare in quest'altro modo
senza fare uso dei quadripotenziali: abbiamo dimostrato che esiste una
soluzione delle equazioni non omogenee a simmetria SO(3), quindi
eventuali soluzioni non simmetriche delle stesse equazioni
differiranno dalle soluzioni SO(3) per un termine di campo libero che
quindi non � causato dalla dinamica delle cariche. Infatti le
equazioni di Maxwell sono equazioni lineari non omogenee, quindi si
mostra che la differenza fra due soluzioni delle equazioni non
omogenee risolve le equazioni di Maxwell senza sorgenti che sono, per
definizione, campi liberi.

> Ma la simmetria si mantiene perche' le eq. di Maxwell sono invarianti
> per rotazioni, quindi da condizioni iniziali simmetriche ti daranno
> di certo una soluzione simmetrica a ogni tempo.

Ah, gi�, perch� le equazioni di Maxwell sono un sistema di equazioni
differenziali lineari del primo ordine quindi i valori dei campi ad
un certo tempo sono delle condizioni iniziali che specificano per
intero l'evoluzione temporale (teorema di Cauchy Kowaleskaya). Ovvero
anche, se la differenza dalla parte simmetrica � nulla ad un certo
tempo � nulla a tutti i tempi perch� la condizione iniziale nulla
delle equazioni del campo libero implica evoluzione temporale nulla.
Del resto anche il teorema dell'energia applicato alla differenza
dalla parte simmetrica, che risolve le equazioni omogenee, implica
questo risultato.

> --
> Elio Fabri
Received on Thu Oct 15 2009 - 01:06:43 CEST