inerzia in relatività generale.

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 19 Oct 2009 08:20:12 -0700 (PDT)

Nell'articolo del 1917: Considerazioni cosmologiche sulla relativit�
generale. Einstein introduce una nozione di inerzia che mi lascia
molto perplesso. Un'inerzia che dipenderebbe dalla curvatura. In breve
egli considera le componenti del quadrimpulso nella forma seguente:

p_m = M sqrt(-det(g)) g_{m,n} dx^n/ds

dove M � la massa invariante. Quindi assume, il che � sempre possibile
per una opportuna scelta delle unit� di misura locali, che valga la
convenzione che sqrt(-det(g)) = 1. Inoltre assume che il campo
gravitazionale sia spazialmente isotropo (ed implicitamente
indipendente dal tempo) e da questo conseguirebbe che la metrica pu�
essere espressa nella forma:

-A(dx^2+dy^2+dz^2)+Bdt^2 = ds^2 = g_{m,n} dx^m dx^n

Dove A e B sono funzioni delle coordinate spazio-temporali medesime.

Quindi, osserva, nel limite di bassa velocit� potendo confondere il
tempo proprio con sqrt(B) dt, risulta che la parte spaziale del
quadrimpulso vale:

M [A/sqrt(B)] dx^i/dt

mentre la parte di energia vale:

M sqrt(B)

A questo punto dice questa cosa strana: dalle espressioni per la
quantit� di moto, segue che M A/sqrt(B) funge da massa di riposo.

Questo � quello che dice Einstein appunto. Ma questa nozione di massa
di riposo evidentemente non coincide con la massa invariante, e non mi
� chiaro affatto quale ne sia il contenuto operativo. Infatti �
evidente che una data porziuncola di spazio tempo tutte le masse
sarebbero modificate dal medesimo fattore, quindi nessun esperimento
in loco potrebbe stabilire un'alterazione della massa rispetto ad un
campione. E d'altronde le geodetiche sarebbero comunque pressoch�
inerziali in questo sistema di coordinate. Per non dire che questa
massa di riposo risulta moltiplicata per un fattore dimensionale.

D'altra parte, in effetti, un raggio di luce che si propaghi verso
regioni in cui la massa di riposo tende a zero avrebbe una velocit�
variabile in accordo a questa scelta di coordinate, data da sqrt(A)/
sqrt(B). Del resto � evidente che con la convenzione adottata il tempo
t che compare nella metrica non � il tempo misurato dagli orologi nel
punto assegnato. Quale � allora l'interpretazione operativa di questa
coordinata t?

Occorre fare attenzione ad una ipotesi implicita adottata da Einstein,
egli infatti pensa ad un universo statico, in tal caso le funzioni A e
B possono dipendere dalle coordinate spaziali, ma non dalla coordinata
temporale t che sar� il tempo universale. Per questa ragione
l'intervallo fra due impulsi che partono con intervallo T sono
ricevuti con il medesimo intervallo di tempo t pari a T quando
arrivano a destinazione, ma in termini del tempo proprio risulta
quindi l'intervallo: sqrt(B) T. Se perci� pensiamo alla propagazione
di un pacchetto luminoso tale che valga, in buona sostanza
l'approssimazione dell'iconale, risulta che l'energia associata al
pacchetto medesimo � cambiata dal valore iniziale per un fattore 1/sqrt
(B). Usando l'energia di questi ipotetici fotoni tutti uguali come
unit� di misura dell'energia otteniamo effettivamente che l'energia
che pu� essere prodotta da un medesimo esperimento chimico in due
luoghi diversi differisce per un fattore sqrt(B) coerentemente a
quanto indicato dalla formula del quadrimpulso adottata da Einstein.
Analogamente se consideriamo con unit� di misura del tempo il periodo
di questi fotoni otteniamo che il medesimo intervallo temporale
misurato dagli orologi collocati nei due punti differisce in termini
di questa unit� di tempo per un fattore sqrt(B).

Per quanto riguarda le unit� di misura delle lunghezze risulta
determinata dalla scelta convenzionale sqrt(-g) = 1. In pratica, in
accordo a questa scelta convenzionale, l'unit� di misura adottata in
due luoghi diversi differisce del fattore 1/sqrt(A) = 1/(B)^(1/6), se
misurata con i medesimi righelli, in altri termini l'unit� di
lunghezza � scelta in modo che la densit� di energia dei fotoni
rimanga costante (ammesso che valga l'approssimazione dell'iconale) da
un punto all'altro dello spazio, anche a costo di rinunciare alla
invarianza della lunghezza dei righelli trasportati. Per quanto
riguarda la nomenclatura il sistema di coordinate utilizzato da
Einstein � un sistema di coordinate a sezioni spaziali conformi
euclidee (che non � la stessa cosa che dire sezioni euclidee).


Quindi nel 1917 Einstein aveva in mente questa nozione di inerzia.
Come andrebbe interpretata?
Received on Mon Oct 19 2009 - 17:20:12 CEST