Re: Costante di struttura fine

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Thu, 10 Sep 2009 13:47:48 -0700 (PDT)

Ciao, sono andato a leggere la tua dimostrazione, ma non ho capito
quasi niente. In particilare non ho capito come ad un certo punto
entra in gioco la velocit� quadratica media delle particelle che
formano il gas che metti in relazione diretta con la velocit� di
propagazione delle onde acustiche nel gas...

Ho comunque capito che tu sostieni che:

** se si assume che il volume di gas possa deformarsi in qualsiasi
direzione invece che solo nella direzione x, allora vengono fuori
anche le onde trasversali di deformazione **

NON ho capito i tuoi calcoli, ma sono in grado di dimostre *usando la
stessa referenza che hai usato tu* che invece viene fuori l'equazione
che dico io e che ti ho scritto nel mio primo post. Ricordo che tale
equazione non ammette alcuna soluzione di tipo onde trasversali.

Allora esattamente come nella referenza che citi, considera il caso in
cui parti da un volume cubico
dv_o con facce parallele ai piani cartesiani e finisci in un volume
spostato e deformato dv. Se un vertice del cubetto dv � indviduato
rispetto al corrispondente vertice di dv_o dal VETTORE Y (il testo lo
chiama xi ma io cambio notazioni per semplicit�), allora dobbiamo
uguagliare la forza totale agente sul volumetto iniziale dv
per l'accelerazione di esso:

dF = rho_o dv_o d^2Y/dt^2

dove rho_0 � la densit� di massa di dv_o.
La forza si ottiene considerando le differenza di pressione su
ciascuna delle 3 facce opposte e moltiplicandola per l'area della
corrispondente faccia ed infine sommando le tre forze ottenute in
questo modo (che agiscono nelle tre direzioni cartesiane). Ci sarebbe
un modo molto pi� elegante che prescinde dalle forme dei volumi usati
ma non mi sembra il caso di tirarlo fuori ora.
Procedendo come detto si ha:

dF = -(dp/dx i +dp/dy j +dp/dz k) dv_o

cio�

dF = - dv_o grad p

con i,j,k dati dai soliti versori lungo gli assi cartesiani
ortogonali.
Quindi, uguagliando F a ma abbiamo trovato che l'equazione del moto
per il volumetto �:

 - grad p dv_0 = rho_o dv_o d^2Y/dt^2

Assumendo la pressione p funzione della densit� e basta:

rho_o d^2Y/dt^2 = - (dp/drho) grad rho (1)

notando che, per definizione, la massa nel volumetto non cambia
passando da dv_o a dv si ha

rho dv = rho_o dv_o

da cui

rho = rho_0 dv_o/dv

l'ultimo rapporto tra volumi vale, per piccole deformazioni,

 dv_o/dv = 1- div Y

(la dimostrazione � una menata, ma � standard e si usa ovunque nella
teoria delle piccole deformazioni). Tenendo conto che rho_o � costante
hai che

grad rho = - grad div Y

e quindi la (1) diventa:

rho_o dv_0 d^2Y/dt^2 - (dp/drho) grad div Y = 0

Il calcolo di (dp/d rho) si esegue esattamente come nel caso
unidimensionale della tua referenza, non contano la direzione di
oscillazione, assumendo il processo adiabatico e vale

r g p_o

nello stesso regime di approssimazione usato nella tua referenza, dove
g � il gamma costante adiabatica.
Mettendo tutti insieme la (1) diventa.


rho_o dv_0 d^2Y/dt^2 - g p_o grad div Y = 0

che � l'equazione che avevo scritto io che NON produce onde piane
trasversali, ma solo onde piane longitudinali.

Dato che tu sostiene di avere dimostrato che invece la stessa teoria
che ho usato io (non si usa altro che F=ma per i continui e
l'equazione dell'espansione adiabatica la vorando in regime di piccole
deformazioni) prevede onde trasversali di deformazione, una delle due
dimostrazioni deve essere sbagliata.

Ciao, Valter
Received on Thu Sep 10 2009 - 22:47:48 CEST