Carica in ExB: è la stessa soluzione?

From: Luciano Buggio <buggiol_at_libero.it>
Date: Thu, 25 Apr 2013 03:14:34 -0700 (PDT)

Un punto materiale elettricamente carico e' in moto rettilineo
uniforme.
all'istante t=0 entra in una zona di spazio in cui sono presenti un
campo elettrico e un campo magnetico costanti e uniformi, ortogonali
tra loro ed alla direzione di provenienza del punto.
Si descriva il moto del punto per t>0.

A questa domanda io ho risposto:


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Una cicloide.
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Giorgio Bibbiani ha risposto:


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Mi limito a studiare il caso non relativistico, trascuro la
reazione di radiazione, considero inizialmente invece del
problema che hai proposto il caso piu' semplice in cui il
campo e.m. sia uniforme in _tutto_ lo spazio.


Al tempo t = 0 siano x(0) = y(0) = z(0) = 0 le coordinate
e (pongo ' = d/dt) siano x'(0) = y'(0) = 0, z'(0) = v le
componenti della velocita' della particella carica, sia il
campo elettrico E(1, 0, 0), quello magnetico B(0, 1, 0),
un opportuno potenziale vettore e' A = (0, 0, -xB),
l'hamiltoniana della particella nel campo esterno e'
(uso unita' gaussiane):


H = (p - eA/c)^2 / (2m) + U [p_x^2 + p_y^2 + (p_z + exB/c)^2] / (2m) - eEx


le coordinate y e z sono cicliche e i corrispondenti momenti
coniugati si conservano:


(1) p_y = p_y(0) = 0
(2) p_z = p_z(0) = mv


le rimanenti equazioni di Hamilton danno
(posto w = eB/(mc), k = E/B):


(3) p'_x = - w * (p_z + mwx) + eE
(4) x' = p_x / m
(5) y' = p_y / m = 0
(6) z' = p_z / m + wx


derivando rispetto al tempo la (4) e sostituendo dalla (3) e dalla
(2):


(7) x'' = -wv - w^2x + kwc


che ha soluzione per le date condizioni iniziali:


(8) x = (kc - v) / w * [1 - cos(wt)],


la (5) si integra banalmente:


(9) y = 0,


sostituendo la (2) e la (8) nella (6):


z' = kc - (kc - v)cos(wt)


che si integra a vista.


(10) z = kct - (kc - v)/w sin(wt)


Verifichiamo la soluzione in casi particolari.


Se E = 0 => k = 0
x = -v/w * [1 - cos(wt)]
y = 0
z = v/w sin(wt),
che corrisponde al moto circolare uniforme della
particella nel campo magnetico uniforme.


Se B -> 0 => k >> 1
x ~= kcwt^2/2 = 1/2 eE/m * t^2
y = 0
z = vt,
che corrisponde al moto parabolico nel campo di forza
costante.


Per risolvere il problema piu' generale che hai proposto,
in cui il campo e.m. e' non nullo solo per z > 0,
bisognerebbe stabilire in funzione dei parametri w e k
quando la (10) assumesse soltanto valori positivi, in
questo caso il problema sarebbe equivalente a quello
semplificato risolto sopra, altrimenti se i valori dei
parametri fossero tali che z risultasse sempre positivo
solo fino a un certo valore di tempo t_max, allora per
t > t_max il moto della particella risulterebbe rettilineo
uniforme nel semispazio z < 0.
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Poich� ho difficolt� ad interpretare questo lungo testo pieno di
formule, qualcuno potrebbe dirmi, per favore, se la risposta � la
stessa che ho dato io?


Ciao e grazie.


Luciano Buggio

Received on Thu Apr 25 2013 - 12:14:34 CEST