Il 17 Lug 2009, 08:42, "Antonio" <rioan_at_fastwebnet.it> ha scritto:
> Premessa:
> Il principio di sovrapposizione vale solo se la legge
> a cui ci riferiamo � lineare.
> Dunque con la seconda legge di Newton nessun problema, ma per esempio con
> la legge di gravitazione, che non � lineare, non posso usare il PS per
> studiare il moto della Terra sotto l'azione della forza del Sole e di
quella
> degli altri pianeti.
E' vero per� le forze che agiscono sulla terra, supposta fissa la sua massa,
sono soggette ancora al principio di sovrapposizione.
> In qualche testo leggo che il PS � invece applicabile a forze elettriche.
> Domanda: come si spiega questo riscontro sperimentale del PS applicato
alla
> legge di Coulomb?
A livello dinamico non c'� questo riscontro sperimentale: l'evoluzione
temporale della somma di due configurazioni non �, in generale, la somma
delle configurazioni evolute temporalmente, somma dei vettori e degli
scalari, questo perch� gi� le forze non soggiacciono al principio di
sovrapposizione lineare se si ammette che tutte le masse e cariche possano
essere sommate e velocit� iniziali possano essere sommate.
In effetti si verifica sovente il caso di un sistema complessivo tale che
gli effetti prodotti da una prima parte del sistema sul secondo siano
soggetti alla sovrapposizione lineare, per esempio:
q'(t) = M(a(t)) q
a'(t) = q(t)
a(t) � regolata da una equazione differenziale lineare non omogenea di q(t)
la cui evoluzione temporale � soggetta a sovrapposizione lineare degli
effetti:
a1(t) = a1(0) + Integrale (q1(t')dt')
a2(t) = a2(0) + Integrale (q2(t') dt')
combinazioni lineari sono ancora soluzioni per l'equazione differenziale
complessiva.
Inoltre si verifica che M � funzione lineare di a(t) tale che M(k1 a1(t) +
k2 a2(t)) = k1 M(a1(t)) + k2 M(a2(t))
quindi anche viceversa vale una forma parziale di linearit� e di
sovrapposizione degli effetti: l'effetto della variabile a(t) sui
coefficienti di q � lineare e soggetto a sovrapposizione lineare. Tuttavia
evidentemente questo effetto lineare a livello dei coefficienti non si
riflette in un comportamento lineare a livello delle soluzioni, integrando
ritrovi infatti l'effetto moltiplicativo dovuto al fatto che la derivata
prima dipende dal prodotto bilineare della funzione q con la funzione a.
Questo � essenzialmente quello che si verifica in elettrodinamica.
A livello elettrostatico, come nel caso newtoniano, tenendo fissa una carica
e considerando variabile la configurazione circostante vale ancora il
principio di sovrapposizione lineare, � effetto della bilinearit�
dell'energia potenziale rispetto alle cariche. Inoltre i campi elettrici e
magnetici statici soggiacciono il principio di sovrapposizione lineare
rispetto alle sorgenti, le equazioni di Maxwell che riguardano i campi,
assegnate le distribuzioni nel tempo sono equazioni differenziali lineari.
Non sono lineari per� le equazioni complessive: per il motivo che la
corrente elettrica non � indipendente dall'impulso quindi la seconda legge
di Newton prevede un equazione del tipo:
q'(t) = M(a(t)) q
dove il potenziale vettore prende le veci di a, e l'impulso di q.
Diverso il caso se si considera lo spazio delle fasi: in un significato del
tutto generale, che riguarda l'evoluzione di distribuzioni statistiche di
sistemi indipendenti, nello spazio delle fasi, il principio di
sovrapposizione lineare dell'evoluzione temporale per effetto della
dinamica, vale sempre, (compresa almeno in parte l'elettrodinamica) per
tutti i sistemi dinamici governati da un sistema di equazioni differenziali
ordinarie del primo ordine, � la sostanza del metodo di linearizzazione di
Lie che traduce un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineare
del primo ordine in un sistema lineare di equazioni differenziali a derivate
parziali per una distribuzione o per una funzione associata (i sistemi
lineari associati alle funzioni ed alle distribuzioni sono differenti per un
termine di divergenza), il metodo di linearizzazione ha un converso che si
chiama metodo delle caratteristiche. E per quanto riguarda il converso
l'equazione alle caratteristiche di una equazione differenziale lineare alle
derivate parziali non � necessariamente lineare.
> Grazie
> Antonio
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Received on Sun Jul 19 2009 - 02:16:49 CEST