LuigiFortunati wrote:
> In una vecchia discussione sulla gravit� di LeSage (con i fotoni),
> un interlocutore mi aveva messo in difficolt� con l'obiezione che, se
> gli urti delle particelle fossero stati totalmente elastici, il numero
> di quelle in arrivo sarebbe stato esattamente uguale a quelle in
> uscita e, pertanto, non potevano produrre lo squilibrio necessario a
> generare la gravita'.
>
> Adesso ho trovato una brillante soluzione per dimostrare (anche
> matematicamente) che l'obiezione e' infondata.
...
> Con la presenza della seconda massa, solo una percentuale di tutte
> le particelle torna verso l'alto!
Ti ho risposto su fisf, ma visto che hai postato (e io ho preannunciato una
risposta) anche qui...
Innanzitutto noto con piacere che ti sei deciso a fare ipotesi quantitative sui
tuoi modelli "� La Sage" e a cimentarti nel compito di derivarne delle previsioni.
Nella tua esposizione hai commesso un errore matematico, l'uso di 1/n% al posto
di (100% - n%), che pero' non ha inficiato i tuoi calcoli visto che l'hai
annullato con un errore simmetrico dopo pochi passaggi; e te ne sei accorto da
solo, inviando dopo qualche ora l'errata corrige (almeno su fisf). Ovviamente le
tue conclusioni restano le stesse.
Due note sulla notazione: termini "percentuali" quali "n%", "m%", oltre a dare
alla trattazione un sapore vagamente bancario, sono ambigui e pesanti alla
lettura; i Fisici preferiscono usare termini "frazione di" con numeri reali
compresi fra 1 e 0. Uso quindi nel seguito m ed n, senza segno %, con il
significato di "frazione dei corpuscoli che proseguono indisturbati". In effetti
tu stesso, anziche' scrivere coerentemente (100% - n%), hai scritto (1 - n%),
dando quindi a n% il significato di "frazione di".
La seconda nota e' che le lettere n ed m, oltre a confondersi facilmente sia
alla pronuncia che alla lettura, vengono normalmente riservate a designare
numeri interi, non reali compresi fra 0 ed 1. Ed io avrei avuto bisogno di n
poco oltre... :-) Per non aumentare la confusione, lascio n ed m con il
significato che hai attribuito a n% ed m%, e come numeri interi usero' N e k.
Ti sei limitato a calcolare quello che succede lungo una retta, supponendo che
tutti gli urti elastici provochino un'inversione a 180� della qdm della
particella incidente: ti sei cioe' limitato ad uno spazio monodimensionale,
arrivando ad una conclusione per cui l'attrazione fra masse dovuta ai corpuscoli
di LaSage e' *indipendente* dalla loro distanza. Questo non e' un errore:
il tuo modello, per quanto semplificato, e' ragionevole, e puo' "facilmente"
venir generalizzato al caso tridimensionale, in cui gli urti elastici possono
produrre una variazione della direzione della qdm da 0� a 180�, e in cui la
forza risultante puo' venir calcolata integrando a tutte le rette passanti per
il baricentro della terra e/o della massa esterna, ritrovando cosi' la legge di
Newton.
Hai pero' commesso un errore concettuale: tu hai ipotizzato che "dell'alto", sul
punto che nella seconda tua trattazione verra' occupato da una massa, arrivino x
corpuscoli ultramondani, ovviamente *in una certa unita' di tempo*; hai seguito
la frazione "(1-n%)m%" dei corpuscoli che, "rimbalzando" sulla terra, tornano
verso l'alto, arrivando alla massa esterna, ovviamente dopo un tempo "medio"
2D/v, con v velocita' dei corpuscoli, e D distanza "media" fra terra e massa: ed
hai sommato fra loro *solo* queste due quantita', calcolate *in tempi diversi*
(quindi considerandole costanti nel tempo), come se non ce ne fossero altre da
considerare.
Dopodiche', hai tralasciato di guardare DOVE VANNO A FINIRE gli (1-n)m
corpuscoli "rimbalzati" dalla terra, una parte dei quali ovviamente rimbalza
anche sulla massa, e continua a rimanere, producendo degli effetti, nello spazio
fra la massa e la terra. Probabilmente li hai tralasciati perche' la loro
quantita' e' piccola e l'hai ritenuta trascurabile: ho gia' parlato di questo
errore. Le quantita' piccole non sono sempre trascurabili!, sopratutto quando,
come in questo caso, si sommano in gran numero. Tralasciando quella frazione,
hai tralasciato l'intera *storia passata* degli altri corpuscoli ultramondani
agenti sulle masse.
Il calcolo esatto, con strumenti alla tua portata, te lo faccio qua sotto.
Guarda che non sono il primo a farlo: prima di ma l'ha fatto sicuramente (e in
versione integrale) LeSage, che ha concluso, correttamente, che nel caso degli
urti elastici i suoi corpuscoli ultramondano non originerebbero alcuna forza. Da
cui la necessita' di urti anelastici e delle altre ipotesi gratuite per spiegare
l'assenza di calore generato.
- o -
Hai fatto implicitamente parecchie ipotesi semplificative, fra cui massa ferma o
che si muove con velocita' piccola rispetto a quella dei corpuscoli, che mantengo.
I corpuscoli che colpiscono "dal basso" la massa m in ogni istante t sono:
quelli che hanno attraversato la terra e percorso la distanza fra terra e massa
n x
quelli che hanno attraversato la terra e "rimbalzato" sia sulla massa che sulla
terra k volte, percorrendo la distanza un numero dispari di volte, e arrivando
sulla massa proprio all'istante t: nell'unita' di tempo in cui misuri x, sono
n x sum_k=1^N [(1-n)(1-m)]^k
(dove N e' il numero massimo di "doppi rimbalzi" che puo' essere avvenuto da...
l'inizio dell'eternita'? In realta' basta molto meno.)
dato che m x = m x [(1-n)(1-m)]^0, questi due apporti si possono conglobare in
uno solo:
n x sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k (1)
quelli che hanno attraversato la massa, ed hanno poi rimbalzato almeno una volta
sulla terra, e poi zero o k volte sia sulla massa che sulla terra, arrivando
sulla massa proprio all'istante t: nell'unita' di tempo in cui misuri x, sono
m x (1-n) sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k (2)
(tu hai considerato *solo* il termine per k=0, che viene infatti (1-n) m x.)
Il numero rotale e' quindi (1) + (2):
n x sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k + m x (1-n) sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k
= x (n + m - nm) sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k
La somma qui scritta e' una serie geometrica troncata ad N di ragione
(1-m)(1-n), che e' positivo e minore di 1. Vedi
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica .
Una serie di questo tipo e' una somma di termini sempre piu' piccoli, ma che
convergono a un valore finito per N->infinito.
Un esempio di serie come questa la puoi costruire riempiendo per meta' un
bicchiere, poi riempiendo a meta' la parte vuota rimanente, poi riempiendo a
meta' la parte vuota rimanente, poi riempiendo a meta' la parte vuota rimanente,
e cosi' via per molte volte. La quantita' di liquido nel bicchiere aumenta
approssimando sempre piu' (*convergendo* rapidamente a) la quantita' di un
bicchiere pieno. La convergenza e' *molto* rapida: dopo 20 passi la quantita'
mancante e' 1 milionesimo del bicchiere, dopo 40 e' un millimiliardesimo, dopo
60 un miliardesimo di miliardesimo, e cosi' via. Se non ti piace pensare ad una
serie infinita, che vorrebbe dire che i corpuscoli di LaSage rimbalzano fra le
masse dall'eternita', puoi pensare ad una serie troncata, ma a un numero molto
grande di rimbalzi. L'errore che fai cosi', in questo caso si', e' veramente
trascurabile: se la massa cui pensi e' la luna, e v=c, la differenza fra la
serie dopo un giorno, e dopo l'eternita', e' 1/(1 seguito da 43200 zeri).
La serie
x (n + m - nm) sum_k=0^N [(1-n)(1-m)]^k
converge a
x (n + m - nm) /[1 - (1-n)(1-m)]
= x (n + m - nm) /[1 - 1 + n + m - nm]
= x.
- o -
Un ragionamento piu' semplice, che porta allo stesso risultato, e' questo:
Chiamiamo y il numero di corpuscoli (nell'unita' di tempo in cui misuri x) che
ad ogni istante abbandona la terra verso la massa (o arriva sulla massa dalla
terra);
chiamiamo z il numero di corpuscoli (nell'unita' di tempo in cui misuri x) che
ad ogni istante abbandona la massa verso la terra o arriva sulla terra dalla massa);
in regime stazionario dev'essere a ogni istante:
z = m x + (1-m) y
y = n x + (1-n) z
una soluzione a questo sistema di equazioni nelle incognite y e z, che puoi
verificare direttamente per sostituzione, e'
y = x, z = x.
Per m ed n diversi da zero, il sistema e' determinato e quindi la soluzione e'
unica.
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TRu-TS
Received on Sat Jul 04 2009 - 19:41:23 CEST