Re: Equazione dell'energia (fluidodinamica)

From: Teti_s <"te..."_at_libero.it>
Date: Sat, 27 Jun 2009 01:48:01 GMT

Il 25 Giu 2009, 17:04, brian86 <m.tomassetti_at_gmail.com> ha scritto:
> L'equazione dell'energia, come si legge su molti testi, per esempio il
> Clarke,
> � la seguente:
>
> partial e
> ------------- + div [ ( e+p ) vec v ] = 0
> partial t
>
> e � l'energia per unit� di volume, p la pressione e v la velocit�.
>
> per� ho letto che per gas perfetto con trasformazioni politropiche
> l'equazione assume un'altra forma, in particolare, sviluppando la
> divergenza non compare il termine
>
> vec v . grad p


non direi che non compare, direi che invece il vincolo politropico permette
di sostituire la pressione con la densit� al fine di ricavare, ad esempio,
l'equazione d'onda nell'approssimazione di prim'ordine della derivazione
statistica per il campo di temperatura. Il fatto che si possa scrivere
un'equazione in cui non compare il termine v. grad p � invece del tutto
generale ed ha a che fare con l'equazione di continuit� per la quantit� di
moto. Procediamo con ordine.

Questa equazione di conservazione, che come � scritta sopra non tiene conto
della viscosit� e dei gradienti di temperatura (con cui si va al terz'ordine
dello sviluppo dell'equazione di Boltzmann) ovvero n� della dissipazione di
energia meccanica in energia termica, n� del trasporto di energia per
gradiente di temperatura (che in verit� pu� essere preso in considerazione
senza tenere conto dei termini viscosi per i quali si hanno equazioni
costitutive pi� sofisticate), � un'equazione intrinsecamente adiabatica
ovvero " nient'altro " che la variante differenziale del primo principio
nella forma dE = L comprensiva per� del termine cinetico della termodinamica
dei sistemi in movimento. Ed � questo il punto chiave, il termine cinetico �
compendiato in questa equazione, ma lo si pu� tenere separato perch� in
virt� dell'equazione di continuit� per la densit� e dell'equazione di
continuit� per la quantit� di moto, un'equazione di continuit� per l'energia
cinetica avrebbe potuto essere ottenuta distintamente. Torner� su questo
tema a fine della discussione dopo un gustoso aneddoto.


E' celeberrimo un tentativo di Newton (molto ben riuscito esempio di alta
cucina) di non tenere conto delle variazioni di temperatura facendo
l'ipotesi isoterma anzich� adiabatica oggi sappiamo che � sbagliato, ma i
numeri ottenuti da Newton, pure se un poco taroccati erano in ottimo accordo
con le osservazioni sperimentali. E' istruttivo considerare questa
impostazione bench� errata. In quel caso l'equazione che hai scritto sopra,
per un gas perfetto non andrebbe, a rigore, presa in considerazione poich� a
temperatura costante la densit� di energia per unit� di volume �
proporzionale alla densit� e non si guadagna informazione dall'equazione di
continuit� per l'energia termodinamica (dal momento che non si sa a priori
quanto calore viene scambiato a discapito dell'energia cinetica e
dell'energia interna) bens� dall'equazione di conservazione per l'energia
meccanica, compendiata dal termine dal solo termine v grad(p)
disinteressandosi della parte p div(v) che misura il lavoro meccanico che
serve alla compressione del gas. In questo caso, seguendo Newton, che
procedeva invece in modo pi� diretto (dalla seconda equazione della
dinamica), avremmo dovuto scrivere:

 partial k
 ------------- + div [ ( k ) vec v ] = - v grad p
 partial t

Dove k = 1/2 n P_m v^2 intendendo con n la densit� di particelle e con P_m
il peso molecolare, mentre v � sempre la velocit�. Questa equazione tuttavia
� gi� contenuta nella equazione di continuit� della quantit� di moto (la
seconda equazione della dinamica), per convincersi di ci� basta partire
dall'equazione di continuit� per la quantit� di moto e moltiplicare
scalarmente per la velocit� (� il medesimo procedimento con il quale
dall'equazione di variazione nel tempo dell'impulso si perviene
all'equazione di variazione nello spazio dell'energia cinetica).


      partial rho v
v. ------------------- + div [ rho v tensor v ] = - p div (v)
          partial t



ma allora se togliamo questa equazione dall'equazione che hai scritto tu
all'inizio cosa rimane? Rimane la seguente equazione di continuit� per
l'energia interna:



 partial u
 ------------- + div [ ( u ) vec v ] = - p div (v)
 partial t


dove u � nient'altro che la densit� di energia interna del fluido e dove per
l'appunto non compare il termine v.grad(p). (derivata convettiva della
pressione legata alla forza che agisce sull'elemento fluido). Ora io sono
passato per questa storiella di Newton e della sua impostazione, ma tutto il
discorso che ho fatto � in verit� del tutto generale, e valido.

Dove sta la differenza.

Sta nell'equazione politropica per il caso delle trasformazioni adiabatiche,
nell'equazione di stato nel caso dell'impostazione di Newton e nel tipo di
informazioni che si possono ricavare. Nell'impostazione corretta si deriva
alla fine un'equazione differenziale per il campo di temperatura,
nell'impostazione isoterma si deriva alla fine un'equazione differenziale
per la quantit� di calore scambiato, ovvero in altri termini per la densit�
di entropia.






> sapete dirmi come mai?
>

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Received on Sat Jun 27 2009 - 03:48:01 CEST

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