Il 06 Giu 2009, 08:28, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Teti_s wrote:
> ...
> > Ho scritto un programmino per integrare le equazioni del moto per un
sistema
> > di "pianeti" usando un semplice algoritmo di velocity Verlet che
garantisce
> > che le costanti del moto del problema continuo siano costanti del moto
per
> > l'approssimazione discretizzata.
>
> Attenzione: non tutte le costanti del moto. In particolare l' energia
> del tuo sistema sara' conservata solo all' ordine dt^2. Vedi dopo.
Certo, grazie per avermelo ricordato, mi aspetto per� che siccome il volume
di fase � rigorosamente conservato, ed esiste una relazione fra l'energia ed
il volume di fase racchiuso mi aspetto che eventuali violazioni si medino a
zero su moti periodici o quasi periodici, altrimenti il successo pratico di
questi algoritmi nel generare le orbite regolarissime che osservo,
nonostante gli errori di approssimazione di tutti i processori sarebbero
inspiegabili.
E questo penso sia valido non solamente per l'energia, ma per ogni grandezza
conservata la cui variazione, detto grossolanamente, "stacca strisce
misurabili di volume di fase". Per esempio: se pongo due coppie di pianetini
in orbita mutua ad una certa distanza ed aggiungo ai centri di massa delle
velocit� ragioneveli quello che vedo � che i due complessi orbitano
perfettamente uno intorno all'altro riempiendo una corona circolare senza
alcuna escursione nel tempo.
E' vero invece che se impongo ai centri di massa delle velocit� pi� basse
ottengo orbite ellittiche e che assisto ad un trasferimento di momento
angolare dalle due orbite intercoppia all'orbita complessiva. In pratica pu�
succedere che l'eccentricit� dell'orbita globale cambia e che le orbite
circolari si stringono e/o acquistano eccentricit�. Tuttavia questo pu�
essere previsto per effetto della variazione periodica delle forze di marea
sui due pianeti di ciascuna coppia. Cio� le instabilit� ed allontanamenti di
orbite che corrispondono alla presenza di coefficienti di Lyapunov in coppie
coniugate che non sono vietati da leggi di conservazione tipicamente
avvengono in modo da allontanare orbite vicine. In pratica per�, da questo
semplice esperimento numerico, noto che non ci sono solamente leggi di
conservazione esatte, ma anche grandezze che sono conservate in media per
determinati valori risonanti dei parametri.
Trovo affascinante che nonostante le condizioni asintoticamente stabili
siano un'eccezione � possibile che il loro peso statistico sia accresciuto
dalla circostanza che i meccanismi dissipativi siano esacerbati nelle
regioni propriamente "caotiche" dello spazio delle fasi. Mi spiego meglio.
Ho notato che partendo da valori arbitrari, a parte rari casi si verifica
che prima o poi, a furia di insistere nella stessa regione di spazio delle
fasi sue punti materiali vengano a trovarsi molto vicini per un certo tempo,
sovente si formano coppie di corpuscoli che vanno di pari passo. In tutto
questo ho trascurato del tutto il fatto che i corpi celesti siano corpi
estesi e che intorno a loro ci sono spesso nebuolose di materiali. Il fatto
che due corpi celesti si trovino vicino fa in modo che l'energia complessiva
del sistema pi� facilmente diminuisce se le orbite sono inizialmente molto
eccentriche. Inoltre maggiori variazioni di velocit� rispetto alla velocit�
della nebula sono "punite" dai meccanismi di assorbimento di nuovo
materiale. Questo fa in modo che sebbene in linea di principio ad ogni
coefficiente di Lyapunov attrattivo corrisponda, in regime conservativo, un
coefficiente di Lyapunov repulsivo, in pratica i coefficienti di Lyapunov
che comportano l'allontanamento da rare variet� stabili siano depressi dai
meccanismi dissipativi.
E qui veniamo ad un'altra questione. Ci sono dei corrispettivi degli
integratori simplettici che consentano di trattare con adeguata precisione
anche i regimi dissipativi? Faccio un altro esempio: sono alle prese con la
simulazione di un giocattolo che ho visto di recente. E' una griglia di
magnetini liberi di ruotare in piano. Quando il sistema � perturbato da una
dinamo o da una fonte magnetica di un certo rilievo e poi la fonte di
perturbazione viene allontanata i magnetini si riorientano e se non
intervenisse l'attrito continuerebbero a muoversi.
In pratica ho notato che cercando le configurazioni di equilibrio con un
semplice algoritmo gradiente (in pratica uso le forze come generatori di
velocit� anzich� di accelerazione e mi avvalgo del fatto che l'angolo le
escursioni angolari sono tutte di ordine di grandezza limitato superiormente
dall'angolo giro in modo da calibrare il passo di discesa) ottengo una certa
variet� di configurazioni, ma meno ricca di quella che si osserva in pratica
per effetto dell'attrito che finisce per stabilizzare un gran numero di
configurazioni che sarebbero di quasi equilibrio. D'altra parte se voglio
costruire un integratore delle equazioni del moto sono un poco dubbioso sul
modo in cui inserire il termine "gamma v" nello schema simplettico.
Se si trattasse di un sistema in equilibrio termico potrei metterlo in
equilibrio con un termostato, ma un termostato toglie energia
simultaneamente a tutti i gradi di libert� senza fare differenza fra le
particelle che si muovono pi� alla svelta e quelle che si muovono pi�
lentamente (il che va bene se sto simulando un gas oppure un liquido perch�
quegli effetti sono da cercare nella dinamica), mentre in questo semplice
caso meccanico un termostato non � lo strumento pi� adeguato.
> ...
>
> > A questo punto dopo una rapida danza al centro dello schermo
> > si vedono due pianeti che rimangono in un orbita stretta uno intorno
> > all'altro, ed altri due pianeti che si allontanano in opposte direzioni.
> ...
> > Per altri valori si vedono pianeti avvicinarsi
> > talmente da far pensare a collisioni ed in quel caso l'attendibilit� del
mio
> > programma che ha un passo di integrazione fisso e nessuna
regolarizzazione �
> > pressoch� nulla.
>
>
> Prima di trarre qualsiasi conclusione, sarebe da tener sotto controllo
> quanto bene si conserva l' energi aocl tuo time step. Le veriazioni di
> velocita' in un' orbita planetaria non quasi circolere sono
> sufficienti a rendere la conservazione dell' energi abbastanza
> scadente.
In effetti mi sono accorto di questo: orbite con eccentricit� sostenuta
deragliano molto prima dal regime teorico dovuto alla simmetria di quanto
non facciano orbite circolari o con eccentricit� pi� bassa ma avevo pensato
che il problema fosse da imputare al valore medio dei coefficienti di
Lyapunov cio� ad una instabilit� dinamica genuinamente pi� significativa per
quel tipo di orbite. D'altra parte so bene che possono esserci effetti di
caos spurio indotti dalla discretizzazione. Un tipico esempio � tipizzato
dalla mappa standard (curiosamente gli effetti pi� temibili, nel senso di:
"pi� abili ad indurre deviazioni sistematiche dell'approssimazione numerica
rispetto all'orbita esatta", vengono dalle orbite periodiche della mappa
standard e non dai moti erratici vige una sorta ci complementarit� fra la
caoticit� dell'approssimazione numerica e la caoticit� a lungo termine
dell'orbita, per cui tanto pi� elevata � la prima tanto pi� contenuta � la
seconda ).
> Comunque, un semplice modo per migliorare la conservazione
> dell' energia col velocity Verlet e' di usare un time step variabile
> modificando un valore iniziale (ragionevolmente buono) in modo
> inversamente proporzionale al massimo rapporto tra nuova e vecchia forza
> (massimo rispetto alle diverse componenti per i diversi gradi di
liberta').
Questo trucco l'ho usato nel calibrare il passo gradiente, e stavo gi�
pensando di implementarlo nel Verlet. Un'altro modo � spingere l'integratore
ad un ordine di accuratezza pi� elevato, usando le ricette di Yoshida per
esempio. (a proposito voi che riferimenti teorici usate per spiegare gli
integratori simplettici?).
> Sul resto dovrei pensarci (magari dopo aver riottenuto le orbite di cui
> parli).
Intanto ti dico che passo temporale ho usato: t = 0.1. Per un'orbita
circolare tipica con raggio 100, massa unitaria, ha velocit� orbitale 0.1 ed
il suo periodo ammonta perci� a circa 628 step temporali. In vista di
trattare pi� accuratamente i sistemi di coppie di pianeti avevo pensato di
implementare un integratore simplettico multiscala. Il problema � che con
l'evoluzione le coordinate generalizzate iniziali, ad esempio i parametri
orbitali relativi ad una coppia di pianeti, possono diventare inadeguati,
perch� talvolta, come in una quadriglia, i pianeti si cambiano di posto.
> Giorgio
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Received on Sun Jun 07 2009 - 17:28:57 CEST