On May 11, 9:27�pm, bugg..._at_libero.it (luciano buggio) wrote:
> Salve
>
> In un dibattito su it.scienza � venuto fuori che se si immagina si
> scaavare un tunnel che attraversa diametralmente la terra, al centro si
> creerebbe una buca di potenziale con punto di stabilit� al fondo:
> classicamente, lascianado cadere un oggetto, esso oscillerebbe intonro al
> detto centro.
> Io non sono d'accordo.
>
> Il centro della terra per me sarebbe solo un punto instabile di sella.
>
> Secondo voi?
>
> Luciano buggio
>
> --
>
> questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuitohttp://www.newsland.it/newssegnala gli abusi ad ab..._at_newsland.it
Ciao, ho provato a fare qualche conto, ma in fretta, per cui potrei
avere scritto delle scemenze... controlla i calcoli per piacere.
Consideriamo la terra come una palla di raggio R >> r omogenea (una
follia pura dal punto di vista geofisico).
In prima approssimazione uno pu� trascurare la massa che togliamo
dalla terra scavando il buco (che immagino un cilindro che passa per
il centro della terra di raggio r con asse che coincide con un
diametro della terra).
In seconda approssimazione possiamo tenere conto anche di questa massa
tolta, ed immagino che a te interessi questo caso, dato che con la
precedente approssimazione al centro della terra c'� un punto di
equilibrio stabile e basta.
Prima calcolo il campo di accelerazione della terra prima di togliere
il cilindro. Usiamo il teorema di Gauss. Per la simmetria sferica, ad
una distanza d dal centro della terra, il campo g sar� radiale
entrante ed il suo modulo soddisfer�:
4 pi d^2 g = k (4/3) pi d^3
dove k � la densit� volumetrica di massa della terra moltiplicata per
la costante universale che appare nella legge di Newton. Concludo che
g(d) = k d/3
cio�
g(x,y,z) = -(k/3) (x^2+y^2+z^2)^{1/2} (x/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_x +
y/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_y + z/(x^2+y^2+z^2)^{1/2} e_z )
Cio�, dove ora g indica il vettore accelerazione
g(x,y,z) = -(k/3) (x e_x + ye_y + ze_z)
Questa accelerazione la ricavi dal potenziale
U(x,y.z) = k (x^2+ y^2 + z^2) /6
facendo il gradiente e cambiandolo di segno. In questa approssimazione
si vede che c'� un punto di equilibrio stabile
nel centro della terra. Andiamo oltre. Teniamo conto del cilindro di
massa sottratto. Per fare ci� possiamo immaginare di sovrapporre alla
terra una cilindro di massa negativa (della stessa densit� della
terra, ma con segno opposto) al posto del buco e sommare
l'accelerazione g' (ora uscente dalla terra) che si ottiene, a quella
gi� calcolata. Dato che R >> r (r/R potrebbe stimarsi come qualcosa
dell'ordine di 10^{-5} o 10^{-6}) e che ci interessa lavorare vicino
al centro della terra, assumo il cilindro infinito ed applico ancora
il teorema di Gauss in coordinate cilindriche r, phi, z con asse z
dato dall'asse del buco cilindrico. Il vettore g' sar� perpendicolare
al cilindro e di modulo pari a g'(r) indipendente da h e da phi. Per
il teorema di Gauss, su un cilindretto di altezza h:
2 pi r h g'(r) = k pi r^2 h
da cui
g'(r) = k r/2
Quindi, come vettore:
g'(r) = + (k r/2) e_r
dove e_r � il versore radiale uscente (in coordinate cilindriche).In
altre parole, come vettore:
g'(x,y,z) = +(k/2) (x e_x + ye_y)
Questa accelerazione la ricavi dal potenziale
U'(x,y.z) = -k (x^2+ y^2)/4
facendo il gradiente e cambiandolo di segno. In definitiva,
nell'approssimazione considerata, il potenziale totale che si sente
nel buco cilindrico vicino al centro della terra � (se non ho
sbagliato i calcoli):
V(x,y,z) = -(k/12) (x^2+y^2) + (k/6) z^2
Quindi (se non ho sbagliato i calcoli) come dici tu c'� un punto di
sella e l'equilibrio � instabile al centro della terra.
Un corpo che cade nel buco sar� attirato verso il centro nella
direzione z, ma anche trascinato verso le pareti del condotto (escluso
il caso praticamente irrealizzabile in cui la direzione di caduta sia
esattamente un diametro). Il moto del corpo dentro il condotto sar�
quindi pi� complicato di una semplice oscillazione attorno al punto di
equilibrio, perch� la forza di gravit� lo tirer� verso le pareti ed
allora interverranno forze di altro tipo dovute alle pareti. Tuttavia
*se* le pareti del lunghissimo buco sono supposte *prive di attrito*,
le forze eserciate da esse non avranno mai componenti tangenti alle
pareti del buco e quindi, in particolare, nella direzione z. In tal
caso, malgrado il moto nelle direzioni y e x sia complicato, il moto
nella direzione z sar� comunque un moto armonico semplice (nell'ambito
dell'approssimazione fatta).
Ciao, Valter
Received on Wed May 13 2009 - 09:09:25 CEST