Re: Effetto Unruh e particelle virtuali

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 14 Apr 2009 13:25:43 -0700 (PDT)

On 14 Apr, 20:54, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Valter Moretti ha scritto:> Esiste un approccio della teoria dei campi, detto approccio
> > costruttivo, o anche approccio assiomatico (anche se le due cose sono
> > un poco diverse), in cui la nozione di particella non � fondamentale.
>
> L'approccio assiomatico penso di conoscerlo, quello costruttivo l'ho
> solo sentito nominare.
> Questa e' l'occasione per chiederti la differenza.


Ciao, sono pi� o meno la stessa cosa. la differenza � che l'approccio
assiomatico � generale, quello costruttivo � la sua messa in pratica
del primo per una teoria concreta: uno cerca di costruire le funzioni
di Wightman, che soddisfino gli assiomi omonimi, per una particolare
teoria o per un particolare stato di cose. Sono in contrapposizione
con l'approccio perturbativo ben pi� noto.

>
> > Da questo punto di vista alcune propriet� apparentemente paradossali,
> > se si cercano di intepretare in termini particellari, risultano essere
> > molto naturali. Per esempio, il fatto che lo stato di vuoto non sia
> > davvero vuoto, � un paradosso se uno vule vedere tutto in termini di
> > particelle (il vuot si riferisce all'assenza di particelle), ma non lo
> > � se uno guarda le cose in termini pi� appropriati.
>
> Non ho capito: lo stato di vuoto non e' "davvero" vuoto?
> Che significa?

E' vuoto rispetto alla descrizione degli stati in termini di
particelle definite alla Wigner, ma h un mucchio di propriet� (vedi
sotto) tali che il nome "vuoto" non gli rende affatto giustizia e, in
un certo senso, confonde le idee.

> Il vuoto non e' definito (almeno in assiomatica) come l'unico stato
> invariante per traslazioni? Assioma, appunto...
>
> > Riguardo all'effetto Unruh (sul quale sto lavorando proprio in questo
> > periodo), le cose, se raccontate in modo un po' mehno "mani e piedi",
> > risultano pi� comprensibili.

Ci provo. Per� tu cerca di arrivare in fondo, visto il tempo che
impiegher� a scrivere!!!

Prima di tutto bisogna capire cosa sia uno stato KMS. Si tratta di
generalizzare l'idea di stato termico per sistemi di volume infinito,
o siatemi di campo. Nella descrizione standard uno stato termico �
rappresenatato da un operatore di classe traccia (matrice densit�)
della forma exp{-beta H} dove H � l'hamiltoniano della teoria e beta
l'inverso della temperatura (pongo K=1 d'ora in poi). Considerando
sistemi che occupano un volume infinito (per esempio campi), questa
descrizione � problematica perch� il limite di volume infinito di exp
{- beta H} un operatore che non � pi� di classe traccia. Il problema
non � un problema quando � chiaro cosa significa il limite di volume
infinito: per calcolare l'azione dello stato sull'osservabile A
calcolo tr(A exp {- beta H})/ tr (exp{-beta H}) e POI faccio il limite
di volume infinito.
Se non � chiaro come fare il limite oppure questo dipende da come lo
eseguo, le cose si mettono male. Per questo motivo � stato inventato
un altro approccio detto di Kubo, Martin e Schwinger (ma gli autori
veri sono Haag, Hugenholtz e Winnick). L'idea � di cercare di
definire gli stati termini in senso algebrico, pensando le osservabili
come elementi di una C*-algebra o algebra di von Neumann A, e gli
stati come soliti stati algebrici su tali algebre
omega: A -> C (funzionali lineari positivi normalizzati) che godano
di qualche propriet� che li caratterizzi come "terminci".
Prima di tutto ci deve essere una nozione di evoluzione temporale: un
gruppo ad un parametro di *-automorfismi { a_t }_{t in R} che agisca
su A descrivendone l'evoluzione temporale. Gli stati omega che
descrivono stati terminci devono prima di tutto essere invarianti
rispetto a a_t:

omega(a_t(b) ) = omega (b) per ogni b in A e ogni t in R

 (in realt� la condizione KMS che dico tra poco implica l'invarianza
automaticamente). La propriet� di termicit� deriva dalla seguente
osservazione cruciale.
Se si lavora con un sistema descritto su uno spazio di Hilbert in cui
l'evoluzione temporale � data da un hamiltoniano H definito positivo
(pi� debolmente � sufficiente che lo spettro sia limitato dal basso) e
uno cosidera la seguente "funzione a due punti", per due osservabili
(operatori autoaggiunti limitati b_1 b_2)

F_t(b_1b_2) := tr(b_1 exp{-it H} b_2)

allora risulta che la funzione F_t(b_1b_2) � estendibile ad una
funzione analitica per valori complessi di t = z nella banda Im z in
(0, beta), definendo una funzione continua e limitata sulla chiusura
di tale banda. Infine vale (cito a memeoria, non mi ricordo bene il
secondo membro)

F_{t+ ibeta}(b_1b_2) = F_t(b_2b1)


Si dimostra che gli unici stati in senso standard (matrici densit�),
che soddisfano queste due propriet� (dette "condizione KMS"), sono
tutti e soli quelli della forma exp{-beta H}. Inoltre si dimostra che
in tutti i casi in cui il limite termodinamico ha senso non ambiguo e
individua uno stato algebrico su una C* algebra o un'algebra di von
Neumann, la condizione KMS sopravvive a tale limite. Inoltre gli stati
(algebrici) KMS godono di un sacco di propriet� che generalizzano
quelle
degli stati termici standard...

La condizione KMS viene usata nel caso generalissimo di teorie su C*-
algebre per *definire* gli stati termici alla temperatura 1/beta.

La definizione generale di stato KMS, quando si passa nella
rappresentazione GNS di uno stato KMS, implica che il gruppo di
automorfismi {a_t} sia individuato da un gruppo unitario ad un
parametro fortemente continuo {U_t}, per cui c'� un generatore
autoaggiunto H, che � l'amiltoniano rispetto al quale lo stato �
termico. Una cosa interessante � che NON � pi� vero, nel caso generale
(ma � vero se lo stato � individuato da un operatore di classe
traccia) che lo spettro di H � limitato dal basso. Inoltre la
condizione KMS � applicabile, in linea di principio, anche a beta
negative...ma non conosco applicazioni fisiche di tali situazioni.

Bene, se prendi una teoria di campo nello spazio di Minkowski che
soddisfi gli assiomi di Wightman e ti restringi a studiare le
osservabili nel cuneo di Rindler destro (x > |t| y,z arbitrari) puoi
considerare l'evoluzione temporale data dal boost, il cui campo
vettoriale � di tipo tempo nel cuneo di Rindler, come sai bene. Questo
�, come sai bene (dato che ne abbiamo discusso qualche anno fa) il
tempo naturale dell'osservatore uniformemente accelerato. Questa
nozione di evoluzione temporale definisce un gruppo {a_t} di *-
automorfismi come puoi facilmente immaginare, facendo agire le
traslazione del boost sulle funzioni di smearing dei campi. La
scoperta di Bisognano e Wichmann, in realt� capita fisicamente solo
da Sewell (e che si basa sul teorema di Reeh-Schlieder e sulla teoria
di Tomita-Takesaki) � la seguente.
Se prendi lo stato di vuoto della teoria di Wightman (il vuoto di
Minkowski) e lo pensi come stato algebrico sulle osservabili del cuneo
di Rindler, scopri che, rispetto all'evoluzione temporale data dal
boost, questo stato (o meglio la restrizione di tale stato), � uno
stato KMS ad una certa temperatura che dipende da come fissi il tempo
associato al boost (c'� ancora un fattore da fissare che dipende
dall'accelerazione propria degli osservatori che evolvono con le linee
integrali del boost), ma non entro in dettagli su questo punto.
Conclusione: un osservatore che accelera uniformemente (cio� la cui
linea di universo � descritta da una curva integrale del vettore di
boost) dovrebbe percepire il vuoto di Minkowski come uno stato termico
ad una certa temperatura...
Esistono altri modi pi� "fisici" di ottenere la stessa cosa. Uno �
stato proposto da Unruh e si fa un modello elementare di un detector
che evolve con un boost (fissando un certo termine di accoppiamento
tra un'osservabile quantistica NON di campo che descrive il detector e
il campo nello stato termico) e si vede che il detector "registra"
davvero uno stato termico...

Con argomenti dello stesso genere si spiega la radiazione di Hawking
quando � descritta dallo stato di Unruh, sul quale ho quasi terminato
un tecnicissimo articolo con due miei collaboratori (di cui, se
riusciamo a dimostrare un teoremazzo, parler� al congresso a
Goettingen sui primi 50 anni della teoria algebrica dei campi
http://www.uni-math.gwdg.de/aqft/).

Come hai visto non ho mai usato la nozione di particella, n� reale n�
virtuale.

Ciao, Valter
Received on Tue Apr 14 2009 - 22:25:43 CEST

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