Il 18 Mar 2009, 00:35, "te..."_at_libero.it (Teti_s) ha scritto:
> Ad illustrazione del fatto che l'integrale non � ben definito ho fatto per
> esteso il conto in coordinate cilindriche per il caso che hai suggerito
qui
> sopra e praticamente mi risulta che se integro ordinatamente prima in
theta
> poi in r ed infine in z la quantit�:
>
> M [ 2 (z-z')^2 - r ' ^2 ]/[(z-z')^2+ (r ')^2]^(5/2)
>
> praticamente escludendo il piano z'=z dove c'� una divergenza ottengo
guarda
> caso il valore del campo magnetico in quel punto, � un caso, la cui
> motivazione � nel fatto che il campo magnetico in un disco piatto di
> spessore trascurabile e magnetizzazione uniforme � trascurabile quanto lo
> spessore. Diversamente, se valutiamo l'integrale integrando ordinatamente
in
> theta, in zeta ed in r, otterremo una differenza dell'ammontare di
4piM(x).
> Questo � infatti il campo magnetico in un filo di magnetizzazione uniforme
> che stiamo escludendo dall'integrale.
Che problema impestato :-))) pensavo di non trovare altre bizzarrie ed
invece ...
Ho calcolato esplicitamente l'integrale del campo seguendo la strategia di
integrare prima in theta', poi in zeta', ed infine in r '. Prima per il
cilindro completo, poi per il cilindro cavo. Riporto adesso i risultati per
il cilindro cavo:
2 pi M {segno(z+L/2) [( 1/sqrt(1+ (R/(z+L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+
(r/(z+L/2)^2))] +
- segno(z-L/2)[( 1/sqrt(1+ (R/(z-L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z-L/2)^2))]}
R � il raggio esterno ed r il raggio interno. Nonostante le funzioni segno,
la funzione � continua in r = 0 dove si pu� scrivere quindi il valore per il
campo H all'interno del cilindro. Come mi aspettavo dalle considerazioni a
priori ottengo correttamente il campo H. Nel caso precedentemente
considerato invece si ottiene il valore errato del campo H, che per�, come
gi� notavamo, � il valore corretto del campo B.
Prima di trovare quelle funzioni segno, che derivano dal cambiamento di
variabile, trovavo erroneamente:
2 pi M {[( 1/sqrt(1+ (R/(z+L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z+L/2)^2))] +
- [( 1/sqrt(1+ (R/(z-L/2)^2)) - ( 1/sqrt(1+ (r/(z-L/2)^2))]}
Ovvero esattamente come nel caso in cui integro prima in theta', poi in r '
ed infine in zeta', un giallo ...
Ma il passaggio sbagliato era il seguente:
(r ' + (z+L/2)^2)^(3/2) = (z+L/2) ((r '/(z+L/2)) ^2 + 1)^(3/2)
quindi, come pensavo, l'ordine di integrazione cambia il risultato :-)
> Se il calcolo viene fatto in coordinate sferiche integrando ordinatamente
in
> angolo e poi in raggio, deve risultare una differenza di:
>
> - 8/3 pi M(x)
>
> In quanto la procedure di calcolo suddetta equivale a tutti gli effetti a
> valutare il campo magnetico in un clindro cavo dal quale manca una sfera e
> restringere poi la cavit� fino ad un punto, ma il campo magnetico interno
ad
> una sfera di magnetizzazione uniforme � il solito 8/3 pi M(x).
>
> Volendo generalizzare il primo metodo pensavo: "se considerando una
> magnetizzazione M(x) che varia in modo liscio e semplice (ovvero senza
> vortici, nodi, ma descrivendo invece un flusso cartesiano) introduciamo un
> sistema di coordinate ortogonali che ammette le linee di flusso come linee
> coordinate di una coordinata x_3, integriamo ordinatamante, dapprima sui
> fogli x_3 costante quindi in x_3 dovremmo sempre eliminare la singolarit�,
> inoltre il campo magnetico compreso fra due strati paralleli ed ortogonali
> alla magnetizzazione �..." zero mi sembra.
>
> Ragioniamo: il campo H � discontinuo sulle superfici, la discontinuit� �
> regolata dall'equazione:
>
> div(H) = - 4pi div(M).
>
> in pratica per� il campo H � l'analogo di quello generato in un doppio
> strato di cariche opposte distribuite con una densit� proporzionale al
> flusso di M quindi � tale da cancellare esattamente il contributo di
> magnetizzazione al campo magnetico perch� il flusso totale di M fra le due
> superfici � nullo nel limite in cui lo spessore � nullo.
>
> Questo perch� i monopoli magnetici approssimativamente esistono, come dice
> Pauli, e generano un campo che � stato dimostrato sperimentalmente essere
> coulombiano.
>
>
> > Bye
> > Hyper
> >
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Inviato via
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Received on Fri Mar 20 2009 - 14:02:58 CET