Variazione del tensore di Ricci quando la connessione è indipendente dalla metrica

From: Joe Silver <argius_at_NOSPAMiaciners.org>
Date: Sat, 21 Mar 2009 10:26:26 +0000 (UTC)

Salve a tutti, ho un volgare problema di calcolo tensoriale che non
riesco a risolvere. In verità non è importantissimo, ma non piace
accettare per buono un risultato senza saperlo dimostrare, per cui spero
che qualcuno potrà darmi qualche dritta.

Si tratta di calcolare la variazione del tensore di Ricci (per poi
applicare il solito principio variazionale all'azione gravitazionale) in
uno spazio-tempo in cui la connessione non è compatibile con la metrica,
ovvero, per dirla in un altro modo, la derivata covariante del tensore
metrico non è identicamente nulla. I coefficienti della connessione,
perciò, *non* sono i simboli di Christoffel.
In più non è assunta l'ipotesi restrittiva che la connessione sia
simmetrica, per cui non si può scambiare ad esempio $\Gamma^\alpha_{\beta
\delta}$ con $\Gamma^\alpha_{\delta\beta}$.

La variazione di $R_{\alpha\beta}$ va fatta unicamente rispetto ai
coefficienti della connessione, poiché la sua espressione si ricava
contraendo il tensore di Riemann dalla solita formula. Né il tensore di
Ricci né il tensore di Riemann, cioè, dipendono da $g_{\alpha\beta}$.

Ora è evidente che si tratta di sfruttare il fatto che le variazioni $
\delta\Gamma^\alpha_{\beta\lambda}$ sono dei tensori e pertanto si
possano "riconoscere" delle derivate covarianti di questi tensori, nel
variare l'espressione del tensore di Ricci.

Nel caso di una connessione simmetrica il risultato finale è questo e
l'ho dimostrato (la tilde sta ad indicare che la derivata covariante è
indipendente dalla metrica):

$\delta R_{\mu\nu} = \tilde{\nabla}_\lambda{\delta\Gamma}^\lambda_{\mu
\nu} - \tilde{\nabla}_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda}$.

Ma nel caso di una connessione non simmetrica non si possono fare le
stesse semplificazioni e il risultato finale dovrebbe essere questo:
 
$\delta R_{\mu\nu} = \tilde{\nabla}_\lambda{\delta\Gamma}^\lambda_{\mu
\nu} - \tilde{\nabla}_\nu \delta\Gamma^\lambda_{\mu\lambda} + 2 \Gamma^
\sigma_{[\nu\lambda]} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

Questo risultato è esposto in Space-Time Structure di Schroedinger, un
libro del 1936. Ed ovviamente è dato come facile da dimostrare. :)

Tuttavia io non riesco a venirne a capo. Qualcuno sa darmi una mano?



-- 
Joe Silver
«Vado a risolvere il teorema del grande Fèrmat. Mi ci vorranno dagli 8 ai 
17 minuti.» (notare l'accento sulla e)
Received on Sat Mar 21 2009 - 11:26:26 CET

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