Il 14 Mar 2009, 15:14, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> On Mar 13, 10:55pm, "te..."_at_libero.it (Teti_s) wrote:
>
> > Forse non ho capito il problema che hai proposto,
>
> Si l'ultimo post era di fretta.
>
> Vorrei capire come mai partendo dall'espressione del campo di dipolo
>
> B=mu0/(4pi) [3r(m.r)/r^5-m/r^3] +2/3 mu0 m \delta(r)
>
> e facendo la convoluzione (senza passare per Fourier) con la funzione
> caratteristica di un cilindro, non si riesce (almeno io non riesco) a
> calcolare il campo interno (in particolare sull'asse, giusto per
> diminuire le complicazioni) di un cilindro magnetizzato uniformemente.
>
> Non voglio passare per derivate, rotori, o altro. Solo il calcolo
> diretto.
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Puoi saltare se vuoi questa prima parte e tornarci poi in seguito, comunque
c'� la mia risposta al problema
Nel frattempo avevo focalizzato, con parole mie, il problema. Infatti prima
di leggere questa tua riproposizione ho voluto fare delle verifiche. Un
problema � che per quanto possa sembrare strano quella identit� per il campo
magnetico, privata del contesto interpretativo non significa molto, in
particolare � evidente che la funzione che esprime il campo di dipolo fuori
dall'origine non � integrabile, non solo all'infinito, ma anche se ci si
limita ad un intorno dell'origine.
Mi sembra che invece quel che ha significato �:
B = lim eps->0 mu0/(4pi) [grad {(m.grad)f(r,eps)}] + mu0/4pi m lap
(f(r,eps))
dove puntualmente:
lim eps->0 f(r,eps) = 1/r.
da questa espressione si ricava l'espressione del Jackson per il campo
magnetico, che hai riportato sopra come limite distribuzionale, ma va
ricordato che � un limite distribuzionale in simmetria sferica nel senso
test� documentato, mentre il risultato che si ottiene non � in simmetria
sferica.
In particolare ciascuna delle funzioni f(r,eps) (a simmetria sferica) �
scelta integrabile in un intorno dell'origine (eventualmente a supporto
compatto) e di classe infinitamente differenziabile. Io che applico la
versione integrata di questa espressione trovo infatti correttamente il
campo magnetico solenoidale lungo l'asse.
Passando per questa via si possono interpretare anche gli integrali di
Fourier, e questo porta a trovare la scorciatoia seguente: l'uso delle
coordinate sferiche rende non solo possibile dare un significato agli
integrali altrimenti divergenti, ma permette di calcolare correttamente la
trasformata di Fourier del momento di dipolo. In effetti penso che si possa
trovare anche una scorciatoia in coordinate cilindriche, dove c'� il teorema
di ortogonalit� per le funzioni di Bessel, nell'espressione dei potenziali
vettori.
Qui c'� un campo recente di studio, legato alle trasformate di Eulero, ed
alle forme modulari, che ha avuto una considerevole accelerazione in
rapporto alla teoria delle stringhe e di cui so molto poco, tranne che la
cima di questo iceberg � rappresentato proprio dalle relazioni fra le
identit� di ortogonalit� in armoniche sferiche e cilindriche, che possono
essere viste come identit� combinatorie per gli sviluppi di certe funzioni
ellittiche, purtroppo le tavole con gli integrali di cui dispongo non sono
abbastanza aggiornate con queste identit� combinatorie.
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Rimanendo pi� sul pratico quello che trovo � che la trasformata di Fourier
bidimensionale del campo di dipolo, magnetico, bidimensionale (proiettato) �
ben definita in coordinate polari, integrando prima in theta e poi in r e
vale:
4pi m - 4 pi [(m.k)k]/|k|^2
a meno di errori. Qui m indica la trasformata della magnetizzazione
proiettata. La trasformata di Fourier, cio�, diagonalizza il problema. E
questa identit� permette di stabilire abbastanza agevolmente il nesso fra i
diversi potenziali. In particolare:
i eps_ij k_j phi = 4pi m - 4pi [(m.k)k]/|k|^2 (#)
ovvero:
- ky phi = 4pi mx - 4pi [(m.k) kx ]/|k|^2
kx phi = 4pi my - 4pi [(m.k) ky]/|k|^2
con eps_ij si intende il tensore antisimmetrico in due dimensioni, che
verifica l'identit�:
eps_ij eps_ik = delta_ jk
da cui:
k^2 phi = -i eps_im k_m [ 4pi m ]
identit� forse vera (molto probabilmente derivata in modo sbagliato) ma in
effetti abbastanza inutile in quanto dice che il laplaciano di phi � uguale
al rotore della magnetizzazione bidimensionale (e siccome spesso � difficile
valutare correttamente queste grandezze differenziali ai bordi di dominio
non si impara quasi nulla su come � fatta la magnetizzazione).
In effetti dovrebbe essere null'altro che la versione proiettata della
identit�:
rot(B) = 4 pi rot (M)
valida in assenza di correnti libere. Il problema � che se M � costante o
irrotazionale in vaste aree del dominio questo non significa che B sia
nullo, in quanto in B contribuisce anche H che � irrotazionale ma dipende da
M. Comunque questa � un'informazione che a tutto diritto possiamo desumere
circa la magnetizzazione localmente in spazio diretto. In particolare poich�
la proiezione di M pu� risultare non irrotazionale anche se M � costante
questa pu� essere un'informazione circa lo spessore di un layer con una
orientazione preferenziale di magnetizzazione.
Per il resto sarebbe gradevole ottenere una trasformazione integro
differenziale che restituisca M da B byepassando le trasformate di Fourier,
ed � un problema a cui medito, di tanto in tanto, per la versione
elettrostatica, ma da anni. Almeno dal novantadue. A quel tempo mi imbattevo
in una serie di difficolt� dovute al fatto, pensavo allora, che non sapevo
quasi nulla di distribuzioni e non avevo certezze sulle trasformate di
Fourier. Quasi tutte queste difficolt� le ritrovo anche ragionando sulla
formula 2.31 della dissertazione che ho linkato, ma adesso discerno che ci
sono difficolt� intrinseche indipendenti dal metodo delle distribuzioni.
Primo problema:
E' abbastanza facile vedere che la 2.31 � equivalente alla espressione (#)
con un poco di algebra. Ad ogni modo noi sappiamo che l'integrale del campo
magnetico trasverso proiettato entro un disco che include tutto il sistema �
multiplo della magnetizzazione, a prima vista uno si aspetterebbe che questa
sarebbe null'altro che la componente zero della trasformata di fourier del
campo che invece vale zero. Ma questa � zero legittimamente perch�
l'integrale in coordinate cartesiane � nullo. Trasformando il campo
moltiplicato per la funzione caratteristica del disco le cose sono pi�
complicate perch� abbiamo una convoluzione in spazio di Fourier e comunque
stavolta la componente zero della trasformata dovrebbe essere quella che ci
aspettiamo.
Ad ogni modo nella soluzione del problema inverso, di ricostruire M_p(x,y)
da phi(x,y), questo problema va tenuto presente.
Secondo problema:
a tal proposito uno pu� essere tentato di ricostruire m_x(k_x,k_y) ed
m_y(k_x,k_y) dal sistema lineare:
-ky phi = m_x - (mx kx + my ky )kx / (kx^2+ky^2)
kx phi = m_y - (mx kx + my ky)ky /(kx^2+ky^2)
Ma qui c'� un problema: il determinante di questo sistema � nullo. E non
potrebbe essere altrimenti perch� l'equazione � stata ottenuta da
un'equazione che era gi� in partenza niente altro che una versione in un
sistema d'assi ruotato del caso kx = k, ky=0 che fornisce informazioni su
grandezze proiettate lungo la direzione y.
La stessa equazione 2.31 non � di grande aiuto perch�:
phi (x,y) = A (M x k)/k^2
diventa subito:
k^2 phi(x,y) = A M x k
che ancora una volta non � altro che l'equazione:
rot(B) = K rot(M).
> Bye
> Hyper
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Received on Sat Mar 14 2009 - 19:38:25 CET