Il 12 Feb 2009, 15:44, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> Propongo una dimostrazione/verifica dell'identita' del campo magnetico
> esterno proiettato di tutte le forme magnetizzate aventi un asse di
> simmetria rotazionale, quando la proiezione avviene lungo l'asse di
> simmetria e la magnetizzazione e' ad esso perpendicolare.
>
> Prendiamo una particella magnetizzata uniformemente. La forma della
> particella si puo' schematizzare con la propria funzione caratteristica
> D(*r*) che vale 1 quando *r* e' dentro (materiale magnetizzato), e zero
> quando *r* e' fuori (spazio vuoto). Esaminiamo forme con simmetria
> rotazionale, ovvero chiamando z l'asse di rotazione, imponiamo che
> D(x,y,z)=D(r,z).
>
> Scegliamo come asse y la direzione di magnetizzazione. L'asse di
> rotazione, che si assume perpendicolare alla direzione di *M*, e' z. Il
> restante asse x rappresenta la coordinate lungo la rimanente direzione
> perpendicolare sia a M che a z.
Ho preso in considerazione il caso che la sorgente del campo sia pressoch�
un dipolo esatto ortogonale all'asse zeta (lungo y), ed applicato il metodo
del rotore: B = rot(A) assumendo A = (m x r)/|r|^3 , se considero la
circuitazione di A su un contorno posto in un piano che contiene l'asse z
ottengo l'integrale della componente ortogonale a questo piano del campo
magnetico all'interno del contorno. Questo rende particolarmente semplice
ottenere l'integrale del campo magnetico per volumi delimitati da rette
parallele all'asse zeta. Quello che ho fatto materialmente come esercizio �
stato calcolare l'integrale su una retta di assegnato x,y. Ottenendo
2mx/(x^2+y^2) (si tratta di phi(x,y)), moltiplicando per 2 ottengo il valore
dell'integrale di B_y fra le due rette parallele simmetriche rispetto al
piano z,y. Ho considerato quindi una circonferenza x^2+y^2 = d^2 ed ho
integrato il risultato rispetto ad y. In pratica x(y) = sqrt(d^2-y^2) da la
funzione: \int 2mx(y)dy/(x(y)^2+y^2). Il risultato che ottengo non dipende
da d: 2pi m. Quindi interpreto questo dicendo che l'integrale della
componente y del campo magnetico in un volume cilindrico � indipendente dal
raggio e vale 2pim. In secondo luogo ho integrato tenendo costante x=d e
variando y da -d a d ed ho ottenuto lo stesso numero. Quindi l'integrale su
un volume cilindrico o parallelepipedo a base quadrata ed altezza infinita �
lo stesso e vale 2pim. Infine ho valutato l'integrale variando y da
-infinito a pi� infinito ed ho ottenuto 4pim, ed anche questo integrale non
dipende da d. Quindi, come mi aspettavo, l'integrale del campo magnetico
lungo y proiettato, rispetto ad y, sul piano y=0 ed integrato in dz (a
questo livello l'ordine di integrazione � ancora intercambiabile) vale 4pim.
Mi sembra che questi risultati siano tutti compatibili con i limiti
asintotici degli integrali valutati da Bruno Cocciaro. Ho valutato poi
l'integrale tenendo fisso x = -d z che varia da -d a d. Questo numero
moltiplicato quattro, in modo da ottenere la circuitazione su un quadrato a
quota y assegnata risulta essere:
4m / [d(1+(y/d)^2)(2+(y/d)^2)^(1/2)]
quest'ultimo pu� essere poi integrato da -d a d e risulta nel numero 8pim/3.
Quindi l'integrale del campo magnetico di dipolo su un cubo � 8 pi m/3. Ed
ancora una volta, invece, l'integrale da -infinito ad infinito vale 4pi. E
si deduce questo dal solito argomento della proiezione sul piano della
magnetostatica che ho accennato altrove. Il risultato sarebbe identico se
considerassimo le circuitazioni.
Infine � semplice calcolare l'integrale del campo di dipolo su una assegnata
circonferenza ortogonale all'asse y con centro sull'asse y in y e raggio
assegnato r e vale:
2pi r^2 m / (r^2 + z^2)^(3/2).
ed integrando questo in z fra -R ed R con il vincolo z^2+r^2 = R^2 ottengo
ancora 8pim/3. Infine ho potuto verificare che effettivamente l'integrale
entro una sfera � ancora 8.pi.m/3 anche se il centro di questa sfera non �
proprio nel dipolo. Mi aspettavo anche questo risultato perch�, come
ricorderete, avevo verificato che l'integrale di flusso sul bordo sfera di
y.B per un campo di dipolo vale la componente y del momento di dipolo, ma
tutti i contributi dovuti ad multipoli di ordine superiore devono annullarsi
per ragioni di ortogonalit� fra armoniche sferiche di momento angolare
differente. Il risultato conclusivo era che se sposto la sfera di
integrazione, in modo che il dipolo rimanga all'interno, allora il flusso di
y.B deve rimanere invariato, perch� invariato � il momento di dipolo anche
se occorre modificare il campo con i termini di multipolo per rappresentare
efficacemente il campo come se fosse generato dal centro della nuova sfera.
Ma siccome il flusso di y.B � l'integrale di volume della divergenza ne
concludevo legittimamente che la componente y del campo magnetico deve
essere uguale se integrata sulla prima e sulla seconda sfera. Il calcolo
iniziale era piuttosto difficile, diversamente il calcolo con il metodo
delle circuitazioni � piuttosto semplice.
In conclusione COMUNQUE SI SCELGA UNA SFERA CHE CONTIENE IL DIPOLO
L'INTEGRALE DEL CAMPO MAGNETICO VALE 8/3 pi m.
Non ho argomenti per sostenere che il campo interno ad un cubo, o ad un
cilindro, il cui centro non sia sul dipolo � lo stesso, ed in effetti per un
cubo traslato di d/2 in direzione del dipolo � differente. E vale:
8 m [ATan(1/3) + Atan(3/sqrt(17)] = m.7.6...
contro
8pi/3 m = m. 8.38...
> Il campo di magnetizzazione e' quindi semplicemente *M*=M[0,1,0]D(r,z),
> visto che per definizione la magnetizzazione esiste solamente dove c'e'
> materiale magnetizzato.
>
> La relazione che lega *M* e *A*, dove *A* e' il potenziale vettore da
> cui ricavare *B* tramite rotore, e'
>
> *A*(*r*)=\mu0/(4\pi) \int d^3*r*' *M*(*r*') \times *R*/R^3
>
> dove utilizzo le maiuscole per indicare differenze di coordinate o
> vettori, quindi X=x-x', Y=y-y', Z=z-z', R=|(x-x')^2-(y-y')^2-(z-z')^2|.
>
> Ho quindi, definendo B=\mu0 M
>
> *A*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [0,1,0] \times *R*/R^3
>
> *A*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [Z,0,-X]/R^3
>
> e di conseguenza
>
> *B*(*r*)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [3XY,3Y^2-R^2,3YZ]/R^5
>
> Fin qui tutto banale, stiamo dicendo che il campo magnetico totale e' la
> sovrapposizione dei campi di dipolo generati da ogni momento elementare
> presente nel materiale. L'integrale di sopra e', di fatto, una
> convoluzione tra il campo di dipolo e la forma della particella.
>
> Limitiamo sin dall'inizio l'analisi al campo esterno, ovvero prendiamo
> |*r*|>a, dove a e' il raggio massimo della particella.
>
> Eseguiamo ora la proiezione di B lungo z (l'integrale lungo z va da meno
> a piu' infinito):
>
> Bp(x,y)=B/(4\pi) \int d^3*r*' D(*r*') \int [3XY,3Y^2-R^2,3YZ]/R^5 dz
>
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int d^3*r*' D(*r*') [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
>
> Poiche' la dipendenza da z' e' svanita nell'integrazione, rendiamo il
> tutto bidimensionale integrando anche su z':
>
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int dx'dy' [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2 \int D(r',z') dz'
>
> L'integrale della D(r',z') in dz' non e' altro che lo spessore di
> materiale magnetico incontrato mentre andiamo da meno a piu' infinito in
> z, che chiamiamo tp(r'). Esempio: per un cilindro, tp(r')=t, se r'<a, e
> =0 se r'>a. Per una sfera, tp(r')=\sqrt{a^2-r^2} per r'<a, e zero per
> r'>a. Per un cono, tp(r')=t (1-r'/a) per r'<a, e zero per r'>a. E cosi'
> via. Puo' essere qualsiasi cosa, basta che non dipenda da \theta.
>
> Quindi, passando in polari
>
> Bp(x,y)=B/(2\pi) \int_0^a r'dr' tp(r') \int d\theta'
> [2XY,Y^2-X^2,0]/(X^2+Y^2)^2
>
> Per effettuare l'integrazione in \theta', che appare non banale,
> sfruttiamo una espansione standard in multipoli del termine da integrare
> (qui si sfrutta la condizione r>a, per espandere opportunamente in
> potenze di r'/r), che mostra come l'integrazione in \theta' abbia un
> solo termine sopravvissuto: quello di dipolo. Risulta
>
> Bp(r>a)=B [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2 \int_0^a r'dr' tp(r')
>
> Non rimane che eseguire l'ultima integrazione, che evidentemente
> restituisce il volume della particella diviso per (2\pi). Risultato:
>
> Bp(r>a)=BV/(2\pi) [\sin(2\theta),-\cos(2\theta),0]/r^2
>
> per qualsiasi particella magnetizzata con simmetria circolare come
> specificato. CVD.
>
> Il calcolo del risultato per la regione interna r<a non e' cosi'
> semplice, perche' dipende dalla forma (I vari multipoli non si annullano
> affatto dentro, come ci si puo' aspettare). Cilindro e sfera sono
> comunque calcolabili (forse anche il cono, non ho provato). Il cilindro
> e' semplicissimo:
>
> Bp_cyl(r<a)=BV/(2\pi) [0,1,0]/a^2
>
> mentre la sfera e' piu' noiosa da scrivere quindi concludo qui.
>
> Bruno, spero di aver soddisfatto degnamente la prima delle tue
> richieste. La seconda, la verifica dei tuoi calcoli, la rimando un po'
> ancora.
>
> Bye
> Hyper
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Received on Wed Mar 04 2009 - 03:02:01 CET