Il 04 Mar 2009, 15:04, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> "Teti_s" <"te..."_at_libero.it> wrote in message
> news:155Z185Z122Z73Y1236133928X23798_at_usenet.libero.it...
> > Sia data una distribuzione assolutamente continua di magnetizzazione
M(x).
> > Questa distribuzione sia non nulla in un dominio contenuto in una sfera
e
> > nulla ovunque fuori di questo dominio. Comunque si scelga la sfera che
> > contiene questo dominio l'integrale di volume del campo magnetico,
> > all'interno di questa sfera, � esattamente 8/3 pi \Int M(x) d^3x.
>
> Beh ma, non e' questo esattamente quanto affermato dal Jackson nel
capitolo
> 5, equazione [5.62] della seconda edizione (l'equivalente elettrico, dove
> c'e' -4/3 al posto di 8/3, viene trattato nel capitolo 4, equazione
[4.18])
> ?
E' vero ma occorre un poco di discussione su questo.
A dir la verit�, nonostante la somiglianza, quello che esplicita l� Jackson
� solo met� della storia. Dimostra cio� che un campo magnetico generato da
correnti localizzate in una data regione spaziale pu� essere espresso in
termini del rotore di un potenziale vettore il cui primo termine non nullo,
nello sviluppo in multipoli, � il potenziale vettore di un momento di dipolo
localizzato nell'origine delle coordinate(in quanto l'integrale delle
correnti � neutro) e pari all'integrale della densit� di magnetizzazione
Mag(x). Questo momento � facile dimostrare, tenendo presente la definizione
di Mag(x) che � invariante per traslazione delle sorgenti. Il momento di
dipolo � l'integrale di una magnetizzazione che ha la forma M(r) = (r x
J)/(2c). A questo punto per�, la dimostrazione dell'eccellente Jackson usa
l'espressione M(r) = (r x J)/2c per dimostrare il risultato, e rimane il
dubbio che per una magnetizzazione intrinseca il risultato potrebbe non
essere verificato.
Va bene, dici, ma � un dubbio che viene risolto nel seguito della lettura,
sia pur fra le righe. E perch� dico che � risolto fra le righe? Perch� sulle
prime il lettore viene portato a scoprire che pu� sempre definire una
corrente efficace come rotore della magnetizzazione. E allora sarebbe
tentato di esprimere in termini di questa corrente efficace la stessa
magnetizzazione. Il punto � che questo non � possibile. Se consideri infatti
la definizione che d� lo stesso Jackson con la formula J_M = c rot(M) [5.79]
e la confronti con la definizione di magnetizzazione di corrente: Mag(x) =
(r x J(r))/(2c) [5.53] risulta una incongruenza, nel senso che non � vero
che:
Mag(x) = (r x J_M(r))/2c = M(x).
Va bene, dici, sar� pure vero, ma quello che conta � che la corrente
efficace genera esattamente la stessa distribuzione di campi generata dalla
magnetizzazione. Infatti posso sostituire l'integrale del campo in termini
della magnetizzazione con l'integrale del campo espresso in termini della
corrente e della magnetizzazione efficace (che per esempio nel caso di una
sorgente sferica uniformemente magnetizzata � concentrata sulla superfici
come lo � la corrente efficace). E quindi alla conclusione della fiera la
prima dimostrazione valida solo per correnti � validata anche per il caso di
una generica magnetizzazione.
La dimostrazione, che ho realizzato a frammenti in questo news group �
invece un risultato intrinsecamente legato alle propriet� di trasformazione
dei campi di multipolo ed all'identit� div( r \tensor B) = B + r div(B).
Dove si intende con (r \tensor B)_ij = r_i B_ j e con la divergenza la
contrazione dell'operatore gradiente sul secondo indice. d_ j (r_i B_ j).
Infatti da un lato il flusso su una sfera di r \ tensor B si riduce al
termine di dipolo, per le relazioni di ortogonalit� fra armoniche sferiche,
dall'altro questo flusso � uguale all'integrale di volume della divergenza.
Tutto quello che occorre sapere � che div(B) = 0, e che il campo sulla sfera
� il risultato di uno sviluppo in multipoli il cui primo termine non nullo �
il termine di dipolo. Inoltre � possibile vedere questo risultato come caso
particolare di una situazione pi� generale.
> > 1) M(x) non deve essere uniforme, e pu� avere momenti di multipolo a
tutti
> > gli ordini.
>
> Infatti, e' proprio qua la potenza del risultato, potenza della quale mi
> sono servito pesantemente nei calcoli che riportavo di recente.
Si.
> In sostanza,
> siccome dentro la sfera il risultato lo da' la teoria (quali che siano i
> momenti di multipolo di ordine successivo al primo), considerando una
sfera
> grande rispetto alle dimensioni della distribuzione della M, si puo'
> ipotizzare che fuori dalla sfera conti solo il momento di dipolo (io l'ho
> ipotizzato, ma immagino si possa dimostrare che, se il momento di dipolo m
> e' non nullo, allora esistera' un R* tale che l'integrale sul cilindro di
> raggio R*, privato della sfera di raggio R*, differisca dall'integrale del
> campo di dipolo per meno di eps (***)).
Questo � intuitivamente immediato come il fatto non dovrebbe dipendere da
nessuna ipotesi se non l'esistenza di uno sviluppo in multipoli. Infatti
quello che conta � che il campo di multipolo che all'infinito �
assolutamente integrabile a partire dal termine di quadrupolo ha un
andamento residuo, in R* che � asintoticamente infinitesimo. Comunque
occorre mettersi con un poco di pazienza ad esplicitare tutti i
ragionamenti.
> Quindi fuori dalla sfera (cioe' sul
> resto del cilindro) si puo' integrare semplicemente il campo di dipolo.
> Si deve sottolineare che il cilindro deve avere raggio R molto maggiore
> delle dimensioni sulle quali e' distribuita la M altrimenti non e' vero
che
> sul resto del cilindro i contributi dei termini di multipolo sono
> trascurabili.
Diciamo che questa ipotesi � sufficiente, ma dopo avere calcolato un poco di
integrali esplicitamente pu� venire qualche dubbio circa la necessit�, in
particolare nel caso di un cilindro infinitamente esteso di raggio assegnato
sono in dubbio circa il fatto che i momenti di multipolo contribuiscano.
> (***) probabilmente bisognera' aggiungere una qualche ipotesi sui termini
di
> multipolo, ipotesi che pero' saranno con ogni probabilita' sempre
> soddisfatte per magnetizzazioni "ragionevoli", o forse saranno soddisfatte
> per tutte le magnetizzazioni fisicamente realizzabili.
Le ipotesi, che ritengo necessarie, sono due: che i momenti di multipolo
esistano e che la distribuzione sia localizzata.
> > 3) Il teorema non asserisce nulla nel caso che la distribuzione di
> > magnetizzazione sia esterna alla sfera, ma � abbastanza ovvio che in
> > generale questo integrale non sia nullo, tuttavia non ho esplorato a
fondo
> > le implicazioni del teorema delle immagini (trasformata di inversione di
> > Poisson) circa l'integrale.
>
> Anche qua il Jackson si pronuncia e dice che il risultato e'
> B(0)*(4/3)*PI*R^3, dove B(0) e' il campo al centro della sfera. In
sostanza,
> se la M e' tutta fuori dalla sfera, l'integrale e' lo stesso che si
avrebbe
> se dentro la sfera il campo fosse costantemente uguale a quello che si ha
al
> centro.
Dimenticavo che le tre componenti del campo magnetico fuori della regione di
localizzazione delle sorgenti sono armoniche e quindi vale il teorema del
valor medio.
> Ciao.
> --
> Bruno Cocciaro
> --- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
> --- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
> --- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
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Received on Wed Mar 04 2009 - 18:41:22 CET