Il 08 Mar 2009, 18:07, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> "Teti_s" <"te..."_at_libero.it> wrote in message
> news:155Z185Z123Z26Y1236386955X1140_at_usenet.libero.it...
> > Il 06 Mar 2009, 19:46, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha
scritto:
> >
> > > Abbiamo visto che sul cilindro infinito (con il dipolo messo
sull'asse)
> > > l'integrale vale 2*PI*m.
> >
> > Occorre precisare: con dipolo ortogonale all'asse, altrimenti la
> > componente proiettata del campo magnetico lungo zeta pu� non essere
nulla.
> > Anzi se lungo la linea si incontra magnetizzazione � certamente non
nulla
> > per� quel che io trovo � che il solo contributo alla componente zeta pu�
> > derivare dal campo di magnetizzazione incontrato.
>
> Non ho capito bene cosa vuoi intendere.
> Io sul cilindro infinito trovo che l'integrale di B vale 2*PI*m se m e'
> ortogonale all'asse, trovo 4*PI*m se m e' parallelo all'asse (il che
> significa che se m non e' ne' parallelo ne' ortogonale all'asse del
> cilindro, allora l'integrale del campo sul cilindro non sara' parallelo a
> m).
Appunto quindi confermi che la componente zeta integrata non vale 2.pi.m
bens� 4.pi.m fra un attimo vediamo il perch�.
> In particolare non capisco la frase "il solo contributo alla componente
zeta
> pu� derivare dal campo di magnetizzazione incontrato."
Significa questo: il campo magnetico � pari al gradiente di un potenziale
scalare pi� la magnetizzazione. Il potenziale scalare viene fuori dal fatto
che il campo H � irrotazionale. Se integri da meno infinito ad infinito la
componente zeta del campo il contributo che viene dalla derivata rispetto a
zeta del campo vale esattamente zero. E rimane solamente l'integrale del
termine 4pi M(x,y,z). Nel caso delle altre due componenti invece il termine
di potenziale conta, ovvero: la proiezione della componente H_z � nulla, ma
quella delle componenti H_x, H_y no.
> > In questo io ho escluso, come abbiamo
> > fatto in tutto questo thread la possibilit� di densit� di sorgenti
> > quadrupolari.
>
> Caspita, anche qua non capisco. Ma non stavamo parlando di sorgenti
> qualsiasi?
No stavamo parlando di sorgenti generate da un qualunque campo di
magnetizzazione, ed eventualmente si pu� parlare di sorgenti di tipo
corrente. Per� come dicevo nella parte seguente questo non significa che i
momenti di multipolo esternamente alle sorgenti non possano risultare non
nulli, anzi in generale sar� proprio il caso, non abbiamo mai preso in
considerazione distribuzioni di sorgenti di quadrupolo, anche se sono
dell'opinione che non dovrebbe cambiare nulla riguardo all'integrale del
campo magnetico
> Tanto e' vero che io ho detto che i risultati suddetti valgono per
cilindri
> di raggio R>>a dove a sono le dimensioni delle sorgenti. Che e' il punto
sul
> quale tanto Hyper che tu avete obiettato e io, almeno per il momento, non
> sono riuscito a trovare argomentazioni convincenti. Continua a sembrarmi
> strano che l'ipotesi R>>a si possa rimuovere, ma certo, se non trovo
> argomenti decisivi ne' a favore della mia tesi, ne' contro le vostre
> obiezioni alla fine dovro' arrendermi.
>
> Per il resto scusami ma io non riesco a seguire le dimostrazioni che dai
> perche' spesso non capisco le formule. Immagino che siano in formato TeX,
> che pero' non conosco.
Ho preparato le versioni scritte di gran parte delle argomentazioni. Spero
di metterle ordinatamente in formato Tex e pubblicare poi un .pdf. Al
momento, in questi appunti, mancava la dimostrazione esplicita della
formuletta con cui il campo si scrive come somma di magnetizzazione e
gradiente di uno scalare, ma solo perch� dopo averla derivata ho trovato che
il Messiah ed un altro libro la includevano esplicitamente, mentre Jackson
glissa, seguendo una strada differente per giungere alla rappresentazione
B,M,H in termini differenziali anzich� integrali. Adesso nello scriverti ho
preso nota del procedimento di derivazione che avevo gi� seguito ed
anteporr� questa parte alla parte che ho gi� scritto in cui ricostruisco lo
sviluppo in multipoli con il linguaggio delle distribuzioni e specifico in
che senso la simmetria sferica va "postulata" a livello di limiti.
> Mi sono quindi accontentato di sapere che trovavi
> risultati in accordo con quelli che trovavo io, e, sull'unico punto ancora
> aperto (quello della rimozione dell'ipotesi R>>a; almeno e' ancora aperto
> per me, poi tu e Hyper ne avete aperto un altro che non ho ben capito se
e'
> stato anche chiuso), prima di analizzare per bene le tue obiezioni, come
> quelle di Hyper, preferisco rifletterci ancora un po' per conto mio per
> vedere se riesco a trovare una qualche argomentazione decisiva.
>
> Il motivo per il quale non mi piace un discorso tipo
> "ma tanto i campi di multipolo successivi proiettati sono tutti ..."
> e' che *prima* vanno considerati i contributi di tutti i multipoli,
> poi, sommato tutto, si puo' mandare al limite l'altezza del cilindro.
Vedi il punto di tutta l'argomentazione illustrata da Hypermars quando
considerava l'esempio di geometria cilindrica, sferica ed eventualmente
conica � che l'integrazione in zeta la puoi fare prima di rivolgerti allo
sviluppo in multipoli (che sar� bidimensionale). Per questo motivo ho
guadagnato un poco di confidenza con il fatto che se invece integro dopo lo
sviluppo in multipoli, siccome ottengo ordinatamente le rappresentazioni di
multipolo bidimensionali, i risultati sono uguali. In entrambi i casi le
sorgenti dei campo di multipolo bidimensionali risultano doppie delle
sorgenti proiettate. Questo � quello che ho scritto a pagina sette dei miei
appunti. Il problema che dici in seguito era esattamente il tipo di inghippo
che temevo prima di mettermi a scrivere tutto. Adesso sono abbastanza
tranquillo sul fatto che si possano fare tutti i limiti assistiti dal
teorema di convergenza dominata, basta non volere strafare nel portare il
segno di integrazione troppo all'interno delle derivate.
> Tutti
> i multipoli superiori al momento di dipolo potrebbero avere, su cilindri
di
> raggio R e altezza h, contributi infinitesimi in R/h, pero', per opportuna
> distribuzione di multipoli, la somma di tutti i contributi potrebbe non
> essere infinitesima in R/h. Magari una cosa del genere e' impossibile (o
e'
> possibile solo per sorgenti ipotetiche, irrealizzabili nella realta', che
> diano contributi multipolari tali da rendere la somma non infinitesima in
> R/h), pero' io, siccome non mi sento sicuro su questo punto, preferisco
non
> proiettare prima di aver sommato tutti i contributi.
>
> Jackson incappa anche lui in un problema analogo. Nel discorso che fa alla
> pag. 165 della seconda edizione, fra le equazioni [5.60] e [5.61], ad un
> certo punto dice:
>
> "Sostituendo ad A [il potenziale vettore], la sua espressione [5.32] e
> *scambiando l'ordine delle due integrazioni* si ottiene [...]"
>
> cioe' Jackson prima integra su tutto il volume il campo dovuto alle
sorgenti
> messe nel punto x', poi somma i contributi di tutte le sorgenti.
E' esattamente quello che ha fatto Hypermars in un caso particolare e che ho
generalizzato, ma in qualcuno dei libri che ha linkato ci sar� di certo
qualcosa di equivalente a quello che ho fatto io.
> Puo' darsi che sia io a farmi troppi problemi, pero' non vorrei che lo
> scambio di ordine degli integrali Jackson possa farlo perche' sta operando
> su un dominio di integrazione finito. Il che significherebbe che noi
> potremmo anche fare il calcolo alla maniera del Jackson solo finche'
teniamo
> h finita.
Il punto � che l'integrazione delle componenti del campo rispetto ad una
sola delle coordinate non presenta alcun problema di convergenza. Problemi
che presenta solamente l'integrale sull'intero dominio infinito in ragione
del fatto che la superficie di una sfera va a crescere a grado due, mentre
il campo decresce a grado tre. Finch� consideri domini finiti o domini
limitati in almeno una dimensione ed illimitati eventualmente nelle altre
due dimensioni non ci sono problemi di convergenza. Per le componenti di
singola corrente in una parte del sistema, il dominio di integrazione del
campo generato deve invece essere limitato in almeno due direzioni
ortogonali. Infatti non c'� problema a proiettare il campo elettrico di una
sorgente di cariche fin tanto che si considera una sola direzione di
integrazione e questo � poi il caso pratico di interesse.
> Insomma, potrebbe darsi che su un dominio di integrazione infinito fare il
> calcolo prendendo prima l'integrale di una sola sorgente (ad esempio la J
> che sta nel punto x', oppure la parte di sorgenti che da' luogo al momento
> di multipolo n-esimo) poi integrando su tutte le sorgenti, dia un
risultato
> diverso da quello che si avrebbe eseguendo il calcolo secondo il corretto
> ordine di integrazione (cioe' prima prendendo in un punto il campo dovuto
a
> tutte le sorgenti, poi integrando il campo ottenuto su tutto il dominio).
>
> Qualcosa di simile al teorema di Fubini originario.
Non uso "qualcosa di simile", ma proprio il teorema di Fubini.
Magari la teoria
> matematica ci soccorre e ci dice che si puo' fare. Io, per il momento, sto
> puntando sul fatto che non si possa fare perche' mi pare incredibile che
la
> tesi possa valere rimuovendo l'ipotesi R>>a. Pero', siccome e' anche
> incredibile la tesi che il Jackson dimostra sulle sfere, puo' darsi
> benissimo che si abbia un'altra tesi incredibile sui cilindri infiniti
(con
> R che deve semplicemente essere maggiore di a, anche se non >>a), in
> sostanza che siano due aspetti della stessa incredibilita', la cui origine
> fisica sara' probabilmente nel teorema di Gauss.
Il punto � che sono due casi particolari di uno stesso risultato che si
applica ogni volta che un campo possa essere espresso come somma della
soluzione di una equazione di Laplace e di una funzione limitata. Rispetto
al caso generale di questo teorema, che ho appena finito di riportare a
pagina otto dei miei appunti per il caso di geometria sferica, e che si
adatta facilmente in due dimensioni modificando gli integrali di superficie
in integrali di linea e di volume in integrali d'area e tenendo conto della
lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio, rispetto a questo
teorema generale, dicevo, nel caso in specie che � quello magnetico abbiamo
in pi� la semplificazione che il campo � indivergente. Non aspettatevi un
pdf troppo presto, per�. Prima voglio essere a posto con tutte le mie
obiezioni soggettive, il che mi potrebbe richiedere da una a due settimane.
Intanto per cercare di familiarizzare con lo slang tecnico e con gli aspetti
pi� concreti del metodo che conoscevo solo a livello di esercizietto
sull'equazione di Dirac, ho trovato una tesi:
http://dissertations.ub.rug.nl/FILES/faculties/science/2008/k.keimpema/c2.pdf
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Mar 09 2009 - 03:28:23 CET