Il 16 Feb 2009, 22:47, Hypermars <hypermars00_at_yahoo.com> ha scritto:
> Bruno, non c'e' nessun errore. L'espressione data e' per B, che
> all'interno di una sfera vale 2/3 B0. Tu hai giustamente ottenuto -1/3
> mu per l'integrale di volume del campo di dipolo dentro una sfera, che
> e' il valore del campo H (il quale e' costante, dando quindi -1/3 mu
> nel volume). Se ci sommi la magnetizzazione M (che porta un intero mu)
> ottieni 2/3 mu per il "momento di B" (l'integrale di B di una sfera
> entro il suo volume). Il termine 2/3 delta(r) e' corretto, e
> necessario esattamente come dice il Jackson.
>
> Fosse che fosse la volta buona che ti convinci che non si puo' fare a
> meno della triade M,H,B... ;-)
E' molto comodo per quanto non strettamente necessaria dal punto di vista
algebrico. In effetti: se dopo avere scritto il campo vettore per un sistema
libero da correnti:
Int [ M(x') x grad'(1/|x-x'|) d^3x'
anzich� integrare per parti ed ottenere l'espressione per la corrente
efficace in termini del rot (M) come si fa di solito per dedurre la
definizione del campo H (come campo il cui rotore � proporzionale alla
corrente libera), calcoli il rotore di questo integrale e sfrutti l'identit�
dei tensori antisimmetrici: e_ijk e_ilm = (d_jl d_km - d_jm d_kl) ottieni:
Int [ - M(x ') grad^2 (1/|x-x'|) + Int (M(x ').grad(grad(1/|x-x'|)) d^3x'
nota che adesso i gradienti sono tutti rispetto ad x, e non pi� rispetto ad
x ', la differenza fra i due essendo, per l'antisimmetria di x-x',
semplicemente un segno, inoltre compare il gradiente del gradiente di 1/|R|
che deve essere inteso come un tensore simmetrico (laddove valga Schwarz) di
rango due. Il primo termine invece si integra in virt� dell'identit�:
grad^2(1/|R|) = -4pi delta(R)
quindi si ottiene che il campo magnetico � dato da un termine:
4pi M (x)
a cui si somma un integrale. Notiamo inoltre che poich� i gradienti non
agiscono su x ' questo integrale pu� essere riespresso come grad[ div (Int (
M(x ') / |x-x '| d^3x ' ) ] che di fatto � un campo irrotazionale che
corrisponde al campo H. Si intende che M, x, x', H, B, R sono sempre
vettori, in questo contesto. Nel caso specifico che M sia parallelo a z la
divergenza di questo integrale ha una semplice interpretazione come
componente z del gradiente di un potenziale scalare che ha -|M| (infatti il
campo � l'opposto del gradiente) per densit� di carica uniforme dentro la
sfera. Ma poich� la "carica" interna alla sfera di raggio |R| � Q=4/3 pi
|R|^3 |M| il campo su questa superficie vale QR/|R|^2 = 4/3 pi |M| R Ovvero
dentro la sfera vale |M|z/3. Il suo gradiente � costante dentro la sfera e
risulta parallelo all'asse z e pari, quindi, ad H_int = - 4pi M/3. Quindi il
campo interno alla sfera � in effetti B_int = 2/3 ( 4pi M). Il cui
integrale, esteso al volume della sfera, vale 2/3 (4pi m).Ovvero 8pi/3 m.
Per quanto riguarda 1/|R|^3 la divergenza dell'integrale in |R| dopo
l'integrazione sugli angoli � logaritmica quindi vale tanto per l'interno
che per l'esterno della sfera centrata intorno ad un ipotetico dipolo
equivalente. Quindi sono d'accordo con Bruno sul fatto che quella scelta
convenzionale di Jackson non sia supportata da motivazioni ineccepibilmente
rappresentate. In un post precedente, nel primo thread che avevi lanciato
avevo fatto un errore, confondendo la nullit� del flusso con la nullit�
dell'integrale in coordinate sferiche, sono due cose da tenere ovviamente
distinte.
In effetti dal modo di procedere che ho illustrato in questa e-mail, sembra
piuttosto che la funzione di Green per il campo di dipolo magnetico si possa
esprimere come somma di un termine di dipolo di tipo elettrico e di un
termine singolare: 4pi delta( x - x ') che rende conto del fatto che il
campo magnetostatico non � irrotazionale.
Per quanto riguarda il carattere spinoriale delle funzioni d'onda
elettroniche occorre ricordare che nella lagrangiana di Dirac la funzione
d'onda elettronica compare, nell'accoppiamento con il potenziale vettore,
come un termine bilineare, in modo che rispetto a trasformazioni interne
spinoriali la trasformazione del potenziale vettore risulta vettoriale, come
deve essere, cio� il valore di aspettazione del campo magnetico risulta
trasformare come un vettore rispetto a rotazioni di tutto il sistema e
l'hamiltoniana � invariante per rotazioni. Per costruzione.
> Bye
> Hyper
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Received on Fri Feb 20 2009 - 23:46:35 CET