Consideriamo il seguente campo vettoriale:
H(r) = (3 (m.r)r - (r.r)m)/|r|^5 = - grad(m.r / |r|^3)
r=(x,y,z) � il vettore posizione ed m=(m_x,m_y,m_z) � un vettore a tre
componenti. Propongo di valutare il flusso di x H(r) attraverso la
superficie di una sfera di raggio R. Per calcolare questo flusso moltiplico
il campo per il versore normale all'elemento di superficie: x r.H(r) / |r|
che vale 2 x (m.r)/|r|^4. Ed esplicitando il numeratore devo andare a
calcolare l'integrale esteso alla superficie S di:
(2 x^2 m_x + 2 xy m_y + 2 xz m_z)/|r|^4
la funzione (xy+xz)/|r|^3 � dispari rispetto al cambiamento di segno della
x, quindi il suo integrale esteso alla superficie � zero. Rimane allora da
calcolare solamente x^2 /|r|^4. Per ragioni di simmetria questo integrale �
uguale a quello di y^2/|r|^3 e di z^2/|r|^3. Quindi ciascuno di questi �
pari all'integrale di 1/|r|^2, ovvero si tratta di integrare una costante su
una superficie di area 4pi |R|^2 ed il risultato � quindi che il flusso vale
(8pi/3) m_x. Indipendentemente da R.
Consideriamo quindi una sfera pi� grande della prima di raggio R' ed ancora
calcoliamo il flusso ottenendo lo stesso numero la differenza fra i due
flussi � zero. D'altra parte x H(r) � a tutti gli effetti un campo
vettoriale non singolare fra le due sfere di classe C^{\infty} allora la
differenza fra i due flussi � il flusso uscente dal volume compreso fra le
due sfere e deve essere uguale al flusso di div(xH) per il teorema della
divergenza. Ad ogni modo la divergenza di x H � pari a grad(x). H + x div(H)
e poich� H � grad(m.r/|r|^3) la sua divergenza � nulla sicch� dovrebbe
risultare che l'integrale di H_x sul volume fra le due sfere vale zero. Ad
ogni modo:
H_x (r) = [-m_x (2x^2 -y^2-z^2) + m_y yx + m_z zx]/r^5 l'integrale su
dominio simmetrico rispetto ad x di una funzione dispari rispetto ad x �
zero quindi rimane Int (H_x (r) d^3 r) = - m_x Int (2x^2-y^2-z^2)/|r|^5 d^3
r e quindi per la solita simmetria l'integrale della componente x di H fra
due sfere � nullo infatti l'integrale di x^2/r^5 e di y^2/r^5 e di z^2 / r^5
sono uguali. Tuttavia questo � vero solo per superfici sferiche centrate sul
dipolo, pertanto in generale il flusso attraverso una superficie non
sferica, o anche sferica ma non centrata sul dipolo, non necessariamente
vale (8pi/3)m_x � tale solo se la componente x del campo fra una sfera
contenuta nel dominio e centrata nella sorgente ed il bordo del dominio �
nulla.
L'effetto dello spostamento infinitesimo del dipolo in una certa direzione
comporta al primo ordine nello spostamento la comparsa di un termine di
quadrupolo ed agli ordini successivi di tutti i termini di multipolo. Se
l'intuizione coerente non mi inganna questo dovrebbe significare delle due
l'una:
Il flusso attraverso una sfera di x H, con H campo di multipolo di ordine
superiore al dipolo non vale zero.
Oppure il contributo di dipolo ad H_x (r) relativo ad un dipolo non centrato
nell'origine, in una corona sferica � nullo ordine per ordine alla sola
condizione che tutte le sorgenti sono contenute in entrambe le sfere
concentriche.
Ad ogni modo l'intuizione potrebbe essere in difetto di fantasia, quindi vi
chiedo: oppure? Tendo a pensare che la prima affermazione sia in
contraddizione col fatto che la combinazione lineare di tre componenti di
multipolo � una funzione armonica sulla sfera e dovrebbe essere ortogonale
ad z/r.
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sat Feb 21 2009 - 18:04:21 CET