"Teti_s" <"te..."_at_libero.it> wrote in message
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> Significa questo: il campo magnetico � pari al gradiente di un potenziale
> scalare pi� la magnetizzazione. Il potenziale scalare viene fuori dal
> fatto che il campo H � irrotazionale. Se integri da meno infinito ad
> infinito la componente zeta del campo il contributo che viene dalla
> derivata rispetto a zeta del campo vale esattamente zero.
Ahhh, questo H che non sopporto :-) !
D'accordo, H e' irrotazionale (cioe rot(B-4*PI*M)=0) ma di questo potenziale
scalare poi dobbiamo cercare le sorgenti. E cercare le sue sorgenti a me
pare che significhi cercare le reali sorgenti (cioe' M, o la sua divergenza
che comunque sempre dentro M sta scritta) del reale campo (cioe' B).
In sostanza, mi va bene anche scrivere
B = (B-4*PI*M) + 4*PI*M
ma poi mi devo chiedere:
quali sono le caratteristiche della M che mi permettono di dire che
l'integrale della componente z (o x o y) di (B-4*PI*M) con z (o x o y) che
va da meno infinito a piu' infinito vale zero?
Immagino che la risposta sia:
basta che la M sia contenuta tutta all'interno di un volume finito.
Se la risposta fosse corretta mi pare che in generale si possa dire che
l'integrale di (B-4*PI*M)*dx lungo una qualsiasi linea che parta
dall'infinito e arrivi all'infinito sara' nullo (se M non e' particolarmente
patologica, come non e' mai nei casi reali, oltre ad essere contenuta al
finito, sempre posto che sia corretta la risposta che ipotizzo sopra),
quindi l'integrale di B*dx su una linea che si estende da entrambe le parti
all'infinito si puo' ridurre all'integrale di M*dx sulle parti finite della
linea di integrazione che toccano la M=/=0.
Che poi e' quanto mi dicevi tu.
Mi pare quindi che l'ipotesi fisica che ci permette di fare questa
straordinaria semplificazione nel calcolo dell'integrale di B*dx su una
linea estesa all'infinito sia che le sorgenti siano tutte al finito.
E' cosi' ?
Direi che la tesi debba necessariamente valere anche per sorgenti di tipo
corrente, anche se va espressa in maniera un po' diversa. Che poi non
sarebbe altro che una variante del teorema di Ampere: se le correnti sono
tutte al finito e non c'e' M, allora la circuitazione di B su un cammino che
si chiude all'infinito sara' data dalla corrente concatenata con il cammino
di integrazione. Il che e' anche come dire che, qualora ci fosse M, pensando
alla sua origine microscopica (io assumo che si stia facendo un discorso
classico, dove la M e' sempre una media di correnti), la circuitazione di B
e' sempre data dalla corrente concatenata. Ora, se la circuitazione la
facciamo su un cammino che va da meno infinito a piu' infinito, per poi
chiudersi all'infinito, siccome la parte che si chiude all'infinito deve
dare contributo nullo (la lunghezza del cammino va come r ma il campo va
almeno come (1/r^3); l'eventuale presenza di cariche, nel caso elettrico,
da' comunque un campo che non da' contributo nella parte che si chiude
all'infinito), ci rimane che il nostro integrale, su un cammino che va da
meno infinito a piu' infinito, passando per dove vuole, deve essere dato
dalla corrente concatenata (eventualmente microscopica, cioe' eventualmente
data dalla M).
Cioe' parrebbe che l'origine fisica della stranezza di cui si parlava non
sia il teorema di Gauss ma quello di Ampere, o almeno un mix dei due.
Il punto e' che cosi' abbiamo sistemato solo in parte la stranezza.
Ci rimangono le componenti del campo ortogonali al cammino di integrazione.
Ed e' qua la stranezza grossa:
detti C1 e C2 due cilindri infiniti, contenuti uno nell'altro (esempio C1
contenuto in C2) che contengono entrambi le sorgenti, l'integrale su z delle
componenti x e y, effettuato su C2-C1 vale sempre zero, quali che siano le
sorgenti (immagino che pero' non debbano estendersi all'infinito) e quali
che siano i cilindri (eventualmente aventi assi diversi, per quanto entrambi
paralleli all'asse z).
Che devo dire ... evidentemente sara' cosi', per quanto possa sembrare
strano (almeno a me).
Il principale motivo per il quale mi pare strano e' che una cosa cosi'
grossa dovrebbe essere "scritta" in maniera non particolarmente complicata
in un qualche teorema (come il risultato dell'integrale della componente z,
che e' scritto nel teorema di Ampere).
Ma evidentemente la dimostrazione che riporterai quando tiri fuori questo
pdf (o qualche dimostrazione che compare in uno dei testi citati da Hyper)
sta proprio li' a dire sulla base di quali teoremi si puo' dedurre la tesi.
> Adesso sono abbastanza
> tranquillo sul fatto che si possano fare tutti i limiti assistiti dal
> teorema di convergenza dominata, basta non volere strafare nel portare il
> segno di integrazione troppo all'interno delle derivate.
Ok, aspettero' questo pdf. Nel frattempo comunque direi che possa iniziare a
farmi le ossa su quella tesi che hai citato.
> Il punto � che l'integrazione delle componenti del campo rispetto ad una
> sola delle coordinate non presenta alcun problema di convergenza. Problemi
> che presenta solamente l'integrale sull'intero dominio infinito in ragione
> del fatto che la superficie di una sfera va a crescere a grado due, mentre
> il campo decresce a grado tre.
Ahhh allora il punto e' qua?
Siccome il dominio e' infinito solo su una dimensione (o, eventualmente, su
due), l'integrale del campo converge, siccome converge posso fare prima
l'integrale su un solo termine dello sviluppo e poi sommare tutti gli
integrali ottenuti. E siccome solo il primo termine dello sviluppo (quello
relativo al dipolo) da' contributo non nullo, tutti gli altri contributi
posso buttarli via tranquillamente, cioe', se anche eseguissi il calcolo
nella maniera "corretta" (cioe' prima calcolando il campo in un punto
sommando tutti i contributi di tutti i multipoli e poi integrando il campo
ottenuto) otterrei comunque lo stesso risultato che ho integrando solo il
contributo del momento di dipolo. E' cosi' ?
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Mon Mar 16 2009 - 21:33:57 CET