Il 16 Feb 2009, 18:21, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> Il Jackson, versione in italiano della Zanichelli, 1984, "Elettrodinamica
> classica" presenta alla pagina 166 (equazione [5.64]) il campo di un
dipolo
> m posto nell'origine:
>
> B(x) = [(3n(n*m)-m)/x^5] + (8/3) PI m delta(x).
>
> Con x si intende il vettore posizione del punto in cui si vuole il campo B
e
> con n si intende il versore x/|x|.
>
> Il testo sottolinea che l'addendo (8/3) PI m delta(x), da sommare alla
> usuale espressione del campo di un dipolo, si rende necessario allo scopo
di
> tenere conto del risultato ottenuto poco prima (equazione [5.62]), e cioe'
> che, se le fonti del campo B sono tutte interne alla sfera di raggio R,
> allora l'integrale di B, esteso su tutta la sfera, vale (8/3) PI m (dove m
> e' il momento di dipolo totale).
>
> Il punto e' che, se non ho commesso errori (il che mi parrebbe poco
> probabile perche' gli integrali li ho fatti eseguire a Mathematica,
> comunque, non si sa mai, magari ho sbagliato a digitare qualcosa, ma mi
pare
> di aver ricontrollato bene), l'integrale di [(3n(n*m)-m)/x^5] sulla sfera
di
> raggio R e centro l'origine non vale 0 ma vale -(4/3) PI m.
Fai in questo modo: considera il campo esterno ad una sfera di raggio r ed
interno ad una sfera di raggio R, considera poi la componente x, tanto il
discorso � simmetrico per le altre. Trovi:
[3 x (m_x x + m_y y + m_z z) - m_x (x^2+y^2+z^2)] / r^5 = [ m_x
(2x^2-y^2-z^2) + 3 m_y xy + 3m_z xz]/r^5
che integrato fra le due sfere, dopo l'integrazione sugli angoli vale zero,
come gi� avevo sostenuto qualche giorno fa nel thread iniziale. Se gli
angoli ti stanno antipatici procedi in questo modo: il dominio di
integrazione � simmetrico rispetto al piano x = 0 ma la funzione � dispari
rispetto al cambio di segno di x, quindi il secondo ed il terzo termine del
numeratore integrati sulle coordinate angolari si annullano. D'altra parte
l'integrale di x^2 uguaglia quello di y^2 e di z^2 e quindi anche il primo
termine si annulla. Diversamente se consideri il campo H interno ad una
sfera di raggio r prodotto da una magnetizzazione uniforme effettivamente �
come dici: vale - 4/3 pi m mentre per il campo magnetico B ha ragione
Jackson l'integrale vale 8/3 pi m.
> Quindi, per tenere conto di quanto Jackson afferma nell'equazione [5.62],
> l'addendo da aggiungere nell'espessione della B(x) a me pare proprio che
> debba essere 4 PI m delta(x) (non (8/3) PI m delta(x)).
Dal punto di vista "algebrico" le cose tornano rispetto all'idea del limite
di una distribuzione sferica quando il raggio tende a zero, ma a rigore, per
dire che vale quella identit� occorre specificare che si argomenta in
simmetria sferica e procedere con l'introduzione di mollificatori per dare
un senso alla identit� distribuzionale di Jackson, mentre sorgono problemi
rispetto all'equazione della divergenza. Mi sembra invece che non sorgano
difficolt� se poniamo:
B(x) = 4 pi m(x') delta(x-x ') + [(3n(n*m(x')-m(x'))/|x-x'|^3]
la divergenza di questo campo � 4pi m(x') grad(x-x ' ) - 4 pi m(x')
grad(x-x') = 0, perch� il secondo termine � la soluzione di div(H) = - 4pi
m(x') grad(x-x') ed � inoltre un campo irrotazionale, il rotore vale allora
- 4pi [ m(x') ] x grad(x-x '). Che si comporta bene rispetto a convoluzione
conducendo di fatto ad identificare in - c 4pi rot [M(x)] la corrente di
magnetizzazione.
> Discorso analogo viene fatto per l'equivalente elettrico alle pagg.
127-128.
> La [4.18] dice che l'integrale di E all'interno della sfera che racchiuda
> tutte le cariche che generano il campo sara' uguale a -(4/3) PI p (dove p
e
> il momento di dipolo elettrico totale), poi, la [4.20] dice che, per
tenere
> conto del risultato [4.18], si deve aggiungere alla usuale espressione del
> campo elettrico di dipolo
> E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5]
> un contributo deltiforme, ottenendo cosi'
> E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5] - (4/3) PI p delta(x).
In questo caso non torna l'equazione della divergenza, ma ha un significato
ugualmente ... occorrerebbe per� un segno, uno sbrego, qualcosa a ricordare
che quella delta di Dirac fissa la convenzione di integrazione per una
classe di geometrie di sorgente.
> Qui Jackson commenta con le seguenti parole:
>
> "Il termine aggiuntivo con la funzione delta non contribuisce al campo nei
> punti diversi dalla posizione del dipolo. Il suo scopo e' quello di
> soddisfare la condizione [4.18], con la *convenzione* che l'integrale di
> volume del primo termine sia zero (per effetto dell'integrazione sugli
> angoli) mentre la singolarita' nell'origine determina il valore
> dellintegrale che, altrimenti, sarebbe ambiguo."
Si aggiusta con i mollificatori e la gamma convergenza.
> Il punto e' che l'integrale di volume del primo termine (su una sfera che
> contenga le cariche) non e' nullo, e non vedo proprio come si possa
> "convenzionalmente" dire che sia zero "per effetto dell'integrazione sugli
> angoli". Di piu', tale integrale di volume da' proprio il valore
necessario
> per soddisfare la [4.18] (cioe' -(4/3) PI p), rendendo corretta, per il
caso
> elettrico, l'espressione usuale del campo di dipolo (cioe' quella senza
> alcuna aggiunta di contributi deltiformi).
>
> In conclusione, diversamente da quanto afferma il Jackson nelle [4.20] e
> [5.64], a me pare che i campi di dipolo elettrico e magnetico si debbano
> esprimere rispettivamente
> E(x) = [(3n(n*p)-p)/x^5]
> e
> B(x) = [(3n(n*m)-m)/x^5] + 4 PI m delta(x).
>
> A questo punto sarebbe interessantissimo discutere gli effetti fisici
della
> differenza fra le due espressioni, ma mi fermo perche' intanto vorrei
> chiedere agli utenti del gruppo se qualcuno nota errori nel discorso fatto
> sopra, oppure se e' noto che li' c'e' un errore del Jackson (magari
corretto
> in edizioni successive).
>
> Grazie.
> --
> Bruno Cocciaro
> --- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
> --- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
> --- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
>
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Received on Sat Feb 21 2009 - 18:55:36 CET